每日一题[1062] P 子集

已知集合 $$A(n)=\left\{k\mid 1\leqslant k\leqslant \dfrac{3^n-1}{2},k\in\mathbb N^{\ast}\right\},$$其中$n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^{\ast}$.若存在非空集合 $S_1,S_2,\cdots,S_n$,使得 $A(n)=S_1\cup S_2\cup \cdots \cup S_n$,且 $S_i\cap S_j=\varnothing $($1\leqslant i<j\leqslant n$),并对任意 $x,y\in S_i$($i=1,2,\cdots,n$),$x>y$,都有 $x-y\notin S_i$,则称集合 $A(n)$ 具有性质 $P$,$S_i$($i=1,2,\cdots,n$)称为集合 $A(n)$ 的 $P$ 子集.
(1)试说明集合 $A(2)$ 具有性质 $P$,并写出相应的 $P$ 子集 $S_1,S_2$;
(2)若集合 $A(n)$ 具有性质 $P$,集合 $T$ 是集合 $A(n)$ 的一个 $P$ 子集,设 $T'=\left\{s+3^n\mid s\in T\right\}$,求证:任意 $x,y\in T\cup T'$,$x>y$,都有 $x-y\notin T\cup T'$;
(3)求证:对任意正整数 $n\geqslant 2$,集合 $A(n)$ 具有性质 $P$.


分析与解 (1)取 $S_1=\{1,4\}$,$S_2=\{2,3\}$ 即可.
(2)情形一 $x,y\in T$,则 $x-y\notin T'$,且\[x-y\leqslant \dfrac{3^n-1}2-1<3^n,\]于是 $x-y\notin T'$,符合题意.
情形二 $x,y\in T'$,则 $x-3^n,y-3^n\in T$,于是\[x-y=\left(x-3^n\right)-\left(y-3^n\right)\notin T,\]且\[x-y=(x-3^n)-(y-3^n)\leqslant \dfrac{3^n-1}2-1<3^n,\]所以 $ x-y\notin T' $,符合题意.
情形三 $ x\in T' $,$ y\in T $,则\[x-y\geqslant \left(3^n+1\right)-\dfrac{3^n-1}2>\dfrac{3^n-1}2,\]于是 $ x-y\notin T $,而 $ x-3^n\in T$,于是\[\left(x-3^n\right)-y\notin T,\]进而\[x-y=\left(x-3^n\right)-y+3^n\notin T',\]符合题意.
综上所述,命题得证.
(3)对 $n$ 进行数学归纳.
由第 $(1)$ 小题结果,当 $n=2$ 时,集合 $A(n)$ 具有性质 $P$.
假设当 $n=k$($k\in\mathbb N^{\ast}$,$k\geqslant 2$)时,集合 $A(n)$ 具有性质 $P$,且此时对应的集合为\[M_1,M_2,\cdots,M_k.\]则当 $n=k+1$ 时,构造\[M_i'=\{s+3^k\mid s\in M_i\},i=1,2,\cdots,k\]且\[\begin{split}N_1&=M_1\cup M_1',\\N_2&=M_2\cup M_2',\\&\cdots,\\N_k&=M_k\cup M_k',\\N_{k+1}&=A(k+1)\backslash\bigcup_{i=1}^kN_k=\left\{\dfrac{3^k-1}2+1,\dfrac{3^k-1}2+2,\cdots,3^k\right\}\end{split}\]则根据第 $(2)$ 小题的结果,对任意 $x,y\in N_i$($i=1,2,\cdots,k$),$x>y$,都有 $x-y\notin N_i$.而对任意 $x,y\in N_{k+1}$,$x>y$,都有\[x-y\leqslant 3^k-\left(\dfrac{3^k-1}2+1\right)=\dfrac{3^k-1}{2}<\dfrac{3^k-1}2+1,\]于是 $x-y\notin N_{k+1}$.
因此当 $n=k+1$ 时集合 $A(n)$ 仍然具有性质 $P$.
综上所述,原命题得证.
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