每日一题[1057]二元最值

已知 \(x,y>0\),求 \(m=6\left(x^2+y^2\right)(x+y)-4\left(x^2+xy+y^2\right)-3(x+y)+5\) 的最小值.


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正确答案是\(2\).

分析与解    法一

设 \(x+y=2a\),\(x-y=2b\),其中 \(a>b\),则\[x=a+b,y=a-b,\]代入整理可得\[m=\left(24a-4\right)b^2+24a^3-12a^2-6a+5.\]情形一    若 \(a\geqslant \dfrac 16\),则\[m\geqslant 24a^3-12a^2-6a+5,\]记右边为 \(f(a)\),则\[f'(a)=6\left(12a^2-4a-1\right),\]于是当 \(a=\dfrac 12\) 时,\(f(a)\) 取得极小值,亦为最小值 \(f\left(\dfrac 12\right)=2\).
情形二    若 \(a<\dfrac 16\),则\[\begin{split}m&>\left(24a-4\right)a^2+24a^3-12a^2-6a+5\\&=48a^3-16a^2-6a+5\\&>-16\cdot \left(\dfrac 16\right)^2-6\cdot\dfrac 16+5\\&>2.\end{split}\]
综上所述,\(m\) 的最小值为 \(2\),当 \((x,y)=\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)\) 时取得.

法二
注意到\[m(x-y)=\left(6x^4-4x^3-3x^2+5x\right)-\left(6y^4-4y^3-3y^2+5y\right),\]设 \(\varphi(x)=6x^4-4x^3-3x^2+5x\),则当 \(x\ne y\) 时,不妨设 \(x<y\),根据拉格朗日中值定理有\[m=\dfrac{\varphi(x)-\varphi(y)}{x-y}=\varphi'(\xi),\]其中 \(\xi \in (x,y)\).而\[\varphi'(\xi)=24\xi^3-12\xi^2-6\xi+5,\]进而\[\varphi''(\xi)=6\left(12\xi^2-4\xi-1\right),\]于是\[\varphi'(\xi)\geqslant \varphi'\left(\dfrac 12\right)=2,\]于是 \(m\geqslant 2\).
又当 \((x,y)=\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)\) 时,\(m=2\),因此所求 \(m\) 的最小值为 \(2\).

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每日一题[1057]二元最值》有 4 条评论

  1. yesterday yesterday说:

    我再问个题外问题,假如求割线斜率取值范围,能不能用导数取值范围代替(包括验证断点是否成立)?

  2. yesterday yesterday说:

    请问法二中直接用导数代替割线斜率范围是否等价?比如y=x^3,图像上任意不同两点连线斜率k的取值范围是(0,+∞),而导数的取值范围却是[0,+∞),这种方法得到的范围不会扩大吗?

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