每日一题[1056]无招胜有招

已知坐标平面 \(xOy\) 内椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)(\(a>b>0\))上一点 \(P(x_0,y_0)\),\(F_1,F_2\) 是椭圆的两个焦点,过 \(F_1,F_2\) 作椭圆在 \(P\) 点处切线的垂线,垂足分别为 \(M,N\).

(1)求证:点 \(M,N\) 在定圆上;
(2)求 \(MF_1\cdot NF_2\) 的值.


分析与解    (1)设 \(F_2\) 关于切线的对称点为 \(F_2'\),连接 \(F_1F_2'\),则 \(F_1F_2'=2a\),进而 \(ON=a\).同理 \(OM=a\),因此点 \(M,N\) 在定圆 \(x^2+y^2=a^2\) 上.

(2)延长 \(MF_1\) 交圆 \(x^2+y^2=a^2\) 于点 \(Q\),设椭圆的长轴端点分别为 \(A,B\),则根据相交弦定理,可得\[MF_1\cdot NF_2=MF_1\cdot F_1Q=AF_1\cdot F_1B=b^2.\]

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