已知坐标平面 \(xOy\) 内椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）上一点 \(P(x_0,y_0)\)，\(F_1,F_2\) 是椭圆的两个焦点，过 \(F_1,F_2\) 作椭圆在 \(P\) 点处切线的垂线，垂足分别为 \(M,N\)．
（1）求证：点 \(M,N\) 在定圆上；
（2）求 \(MF_1\cdot NF_2\) 的值．
分析与解 （1）设 \(F_2\) 关于切线的对称点为 \(F_2'\)，连接 \(F_1F_2'\)，则 \(F_1F_2'=2a\)，进而 \(ON=a\)．同理 \(OM=a\)，因此点 \(M,N\) 在定圆 \(x^2+y^2=a^2\) 上．
（2）延长 \(MF_1\) 交圆 \(x^2+y^2=a^2\) 于点 \(Q\)，设椭圆的长轴端点分别为 \(A,B\)，则根据相交弦定理，可得\[MF_1\cdot NF_2=MF_1\cdot F_1Q=AF_1\cdot F_1B=b^2.\]
