已知 $a=1.01^{100.3}$，$b=1.1^{10.5}$，$c={\rm e}$，用 $<$ 将 $a,b,c$ 连接起来的结果是_______．
每日一题[1265]弦长之比
双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，$M,N$ 两点在双曲线 $C$ 上，且 $MN\parallel F_1F_2$，$|F_1F_2|=4|MN|$，线段 $F_1N$ 交双曲线 $C$ 于点 $Q$，且 $17|F_1Q|=32|QN|$，则双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 为_______．
每日一题[1264]联合数列
已知 $a_1>0$，$b_1>0$，且对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，有 $a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{b_n}$，$b_{n+1}=b_n+\dfrac{1}{a_n}$，求证：$a_{50}+b_{50}>20$．
每日一题[1263]数列方程组
已知数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $a_1=b_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2b_n$，$b_{n+1}=a_n+b_n$，则下列结论正确的是（ ）
A．只有有限个正整数 $n$ 使得 $a_n<\sqrt 2b_n$
B．只有有限个正整数 $n$ 使得 $a_n>\sqrt 2b_n$
C．数列 $\left\{|a_n-\sqrt 2\cdot b_n|\right\}$ 是递增数列
D．数列 $\left\{\left|\dfrac{a_n}{b_n}-\sqrt 2\right|\right\}$ 是递减数列
每日一题[1262]暗藏勾股
在三棱锥 $S-ABC$ 中，$\triangle ABC$ 是边长为 $3$ 的等边三角形，$SA=\sqrt 3$，$SB=2\sqrt 3$，二面角 $S-AB-C$ 的大小为 $120^\circ$，则此三棱锥的外接球的表面积为_______．
每日一题[1261]调和分割
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，$a>b>0$，其离心率 $e=\dfrac12$，过椭圆 $E$ 内一点 $P(1,1)$ 的两条直线分别与椭圆交于点 $A,C$ 和 $B,D$，且满足 $\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{PD}$，其中 $\lambda$ 为实数，当点 $C$ 恰为椭圆的右顶点时，对应的 $\lambda=\dfrac57$．
1、求椭圆的方程；
2、当 $\lambda$ 变化时，直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}$ 是否为定值？若是定值，请求出该定值；否则，请说明理由．
每日一题[1260]兵分两路
已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，$a_i\in \{0,1\}$（$i=1,2,\cdots,n$）且 $a_n=1$，设 $M$ 是所有形如\[0.\overline{a_1a_2\cdots a_n}_{(10)}\]的小数组成的集合，$S_n$ 是集合 $M$ 中的所有元素之和，$T_n$ 是集合 $M$ 中元素的个数，则 $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{S_n}{T_n}=$ （ ）
A．$\dfrac 19$
B．$\dfrac 1{18}$
C．$\dfrac 1{27}$
D．$\dfrac1{10}$
每日一题[1259]祖暅原理
由曲线 $x^2=4y$，$x^2=-4y$，$x=4$，$x=-4$ 围成图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为 $V_1$，满足 $x^2+y^2\leqslant 16$，$x^2+(y-2)^2\geqslant 4$，$x^2+(y+2)^2\geqslant 4$ 的点 $(x,y)$ 组成的图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为 $V_2$，则 $\dfrac{V_1}{V_2}$ 的值为（ ）
A．$\dfrac 12$
B．$\dfrac 23$
C．$1$
D．$2$
每日一题[1258]存在与恒成立
已知 $m$ 是实数，函数 $f(x)={\rm e}^{x+1}-ma$，$g(x)=a{\rm e}^x-x$．若存在实数 $a$，使得 $f(x)\leqslant g(x)$ 对任意 $x\in\mathbb R$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是（ ）
A．$\left[-\dfrac{1}{2{\rm e}},+\infty\right)$
B．$\left[-\dfrac{1}{2{\rm e}},0\right)$
C．$\left[-\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$
D．$\left[-\dfrac{1}{\rm e},0\right)$
每日一题[1257]上下界估计
已知 $a,b$ 均为正数，若不等式 $x^2+2xy+3y^2\geqslant ax^2+by^2$ 对一切 $x,y\in\mathbb R$ 恒成立，则 $a+b$ 的取值范围是（ ）
A．$(0,2)$
B．$(1,2)$
C．$\left(\sqrt 2,2\right)$
D．$\left(\sqrt 3,2\right)$