已知 $a,b$ 均为正数，若不等式 $x^2+2xy+3y^2\geqslant ax^2+by^2$ 对一切 $x,y\in\mathbb R$ 恒成立，则 $a+b$ 的取值范围是（ ）
A．$(0,2)$
B．$(1,2)$
C．$\left(\sqrt 2,2\right)$
D．$\left(\sqrt 3,2\right)$
答案 A．
解析 令 $y=-x$，有\[\forall x\in\mathbb R,(a+b)x^2\leqslant 2x^2,\]于是\[0<a+b\leqslant 2.\]考虑到当 $(a,b)\to (0,0)$ 时符合题意，当 $(a,b)\to (0,2)$ 时有\[x^2+2xy+3y^2=(x+y)^2+2y^2\geqslant ax^2+by^2,\]符合题意．结合连续性可知 $a+b$ 的取值范围是 $(0,2)$．