每日一题[1257]上下界估计

已知 $a,b$ 均为正数,若不等式 $x^2+2xy+3y^2\geqslant ax^2+by^2$ 对一切 $x,y\in\mathbb R$ 恒成立,则 $a+b$ 的取值范围是(       )

A.$(0,2)$

B.$(1,2)$

C.$\left(\sqrt 2,2\right)$

D.$\left(\sqrt 3,2\right)$

    

答案    A.

解析    令 $y=-x$,有\[\forall x\in\mathbb R,(a+b)x^2\leqslant 2x^2,\]于是\[0<a+b\leqslant 2.\]考虑到当 $(a,b)\to (0,0)$ 时符合题意,当 $(a,b)\to (0,2)$ 时有\[x^2+2xy+3y^2=(x+y)^2+2y^2\geqslant ax^2+by^2,\]符合题意.结合连续性可知 $a+b$ 的取值范围是 $(0,2)$.

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