每日一题[1260]兵分两路

已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$,$a_i\in \{0,1\}$($i=1,2,\cdots,n$)且 $a_n=1$,设 $M$ 是所有形如\[0.\overline{a_1a_2\cdots a_n}_{(10)}\]的小数组成的集合,$S_n$ 是集合 $M$ 中的所有元素之和,$T_n$ 是集合 $M$ 中元素的个数,则 $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{S_n}{T_n}=$ (       )

A.$\dfrac 19$

B.$\dfrac 1{18}$

C.$\dfrac 1{27}$

D.$\dfrac1{10}$

答案    B.

解析    根据题意,有\[T_n=2^{n-1},\]且\[S_n=(0.1+0.01+\cdots+0.\underbrace{00\cdots 0}_{n-2}1)\cdot 2^{n-2}+0.\underbrace{00\cdots 0}_{n-1}1,\]于是\[\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{S_n}{T_n}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\dfrac 19\cdot 2^{n-2}}{2^{n-1}}=\dfrac{1}{18}.\]

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