已知函数 $f(x)=\ln x-kx+k$．
（1）若 $f(x)\geqslant 0$ 有唯一解，求实数 $k$ 的值；
（2）求证：当 $a\leqslant 1$ 时，$x\left(f(x)+kx-k\right)<{\rm e}^x-ax^2-1$；
设函数 $f(x)=4\ln x-\dfrac 12ax^2+(4-a)x$，其中 $a\in\mathbb R$．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若函数 $f(x)$ 存在极值，对于任意的 $0<x_1<x_2$，存在正实数 $x_0$，使得 $$f(x_1)-f(x_2)=f'(x_0)\cdot (x_1-x_2),$$试判断 $x_1+x_2$ 与 $2x_0$ 的大小关系并给出证明．
已知函数 $f(x)=\begin{cases} 2x^2-x,&x\leqslant 0,\\ -x^2+x,&x>0,\end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=m$ 有 $3$ 个实数解 $x_1,x_2,x_3$，且 $x_1<x_2<x_3$，则实数 $m$ 的取值范围 $D$ 是_______，当 $m$ 在 $D$ 内变化时，$x_1+x_2x_3$ 的取值范围是_______．
已知函数 $f(x)={\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-ax$（$a>0$）．如果 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，记过点 $A(x_1,f(x_1))$ 和 $B(x_2,f(x_2))$ 的直线斜率为 $k$，若 $k>-\dfrac{2}{\rm e}$，求实数 $a$ 的取值范围．
$E,F$ 是等腰直角 $\triangle ABC$ 斜边 $AB$ 上的三等分点，则 $\tan \angle ECF = $ （ ）
A．$\dfrac{16}{27}$
B．$\dfrac{2}{3}$
C．$\dfrac{\sqrt 3 }{3}$
D．$\dfrac{3}{4}$
已知函数 $f(x)=\begin{cases} -\dfrac 12x,&x>0,\\ -{\rm e}^{-x},&x\leqslant 0,\end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f(f(x))=m$ 恰有两个实数解$x_1,x_2$，则 $4x_1+x_2$ 的最小值为_______．
设函数 $f(x)={\rm e}^{ax}+\lambda \ln x$，其中 $a<0$，$0<\lambda<\dfrac{1}{\rm e}$．
（1）求证：函数 $f(x)$ 有两个极值点；
（2）若 $-{\rm e}\leqslant a<0$，求证：函数 $f(x)$ 有唯一零点．
已知抛物线 $\Omega$ 的顶点是坐标原点 $O$，焦点 $F$ 在 $y$ 轴正半轴上，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $M,N$ 两点，且满足 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=-3$．
（1）求抛物线 $\Omega$ 的方程；
（2）若直线 $y=x$ 与抛物线 $\Omega$ 交于 $A,B$ 两点，在抛物线 $\Omega$ 上是否存在异于 $A,B$ 的点 $C$，使得经过 $A,B,C$ 三点的圆与抛物线 $\Omega$ 在点 $C$ 处有相同的切线？若存在，求出点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
已知函数 $f(x)=a\ln x+\dfrac{x^2}{2}-(a+1)x$，$a\in\mathbb R$．
（1）当 $a=-1$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值；
（2）当 $a\leqslant1$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的零点个数．
