已知函数 $f(x)=\begin{cases} 2x^2-x,&x\leqslant 0,\\ -x^2+x,&x>0,\end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=m$ 有 $3$ 个实数解 $x_1,x_2,x_3$，且 $x_1<x_2<x_3$，则实数 $m$ 的取值范围 $D$ 是_______，当 $m$ 在 $D$ 内变化时，$x_1+x_2x_3$ 的取值范围是_______．
正确答案是$\left(0,\dfrac 14\right)$，$\left(0,\dfrac{2-\sqrt 3}4\right)$．
分析与解 法一 选择$m$来表示$x_1,x_2,x_3$
如图作出 $f(x)$ 的图象，可知实数 $m$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 14\right)$．
此时 $x_1$ 是关于 $x$ 的方程\[2x^2-x=m\]的较小实根，$x_2,x_3$ 是关于 $x$ 的方程\[-x^2+x=m\]的两个实根．因此\[x_1=\dfrac{1-\sqrt{1+8m}}4,x_2x_3=m,\]因此问题转化为求函数\[y=\dfrac{1-\sqrt{1+8m}}4+m,m\in\left(0,\dfrac 14\right)\]的值域．令 $t=\sqrt{1+8m}$，则 $t$ 的取值范围是 $\left(1,\sqrt 3\right)$，此时\[y=\dfrac{1-t}4+\dfrac {t^2-1}8=\dfrac{(t-1)^2}{8},\]因此所求的取值范围是 $\left(0,\dfrac{2-\sqrt 3}4\right)$．
法二 选择$x_1$来表示$x_2,x_3$
将 $x_1+x_2x_3$ 转化为关于 $x_1$ 的表达式，因为\[x_2x_3=m=2x_1^2-x_1,\]所以 $x_1+x_2x_3=x_1^2$，关键是求 $x_1$ 的取值范围．
因为$x_1$是$$0<2x^2-x<\dfrac 14$$的小根，解得 $x_1\in\left(\dfrac{1-\sqrt 3}4,0\right)$，从而有 $$x_1+x_2x_3\in\left(0,\dfrac{2-\sqrt 3}4\right).$$