每日一题[1118]统一“度量衡”

已知函数 $f(x)=\begin{cases} 2x^2-x,&x\leqslant 0,\\ -x^2+x,&x>0,\end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=m$ 有 $3$ 个实数解 $x_1,x_2,x_3$,且 $x_1<x_2<x_3$,则实数 $m$ 的取值范围 $D$ 是_______,当 $m$ 在 $D$ 内变化时,$x_1+x_2x_3$ 的取值范围是_______.


cover正确答案是$\left(0,\dfrac 14\right)$,$\left(0,\dfrac{2-\sqrt 3}4\right)$.

分析与解 法一 选择$m$来表示$x_1,x_2,x_3$

如图作出 $f(x)$ 的图象,可知实数 $m$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 14\right)$.此时 $x_1$ 是关于 $x$ 的方程\[2x^2-x=m\]的较小实根,$x_2,x_3$ 是关于 $x$ 的方程\[-x^2+x=m\]的两个实根.因此\[x_1=\dfrac{1-\sqrt{1+8m}}4,x_2x_3=m,\]因此问题转化为求函数\[y=\dfrac{1-\sqrt{1+8m}}4+m,m\in\left(0,\dfrac 14\right)\]的值域.令 $t=\sqrt{1+8m}$,则 $t$ 的取值范围是 $\left(1,\sqrt 3\right)$,此时\[y=\dfrac{1-t}4+\dfrac {t^2-1}8=\dfrac{(t-1)^2}{8},\]因此所求的取值范围是 $\left(0,\dfrac{2-\sqrt 3}4\right)$.

法二 选择$x_1$来表示$x_2,x_3$

将 $x_1+x_2x_3$ 转化为关于 $x_1$ 的表达式,因为\[x_2x_3=m=2x_1^2-x_1,\]所以 $x_1+x_2x_3=x_1^2$,关键是求 $x_1$ 的取值范围.

因为$x_1$是$$0<2x^2-x<\dfrac 14$$的小根,解得 $x_1\in\left(\dfrac{1-\sqrt 3}4,0\right)$,从而有 $$x_1+x_2x_3\in\left(0,\dfrac{2-\sqrt 3}4\right).$$

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