每日一题[1121]用导数证明函数不等式

已知函数 $f(x)=\ln x-kx+k$.

(1)若 $f(x)\geqslant 0$ 有唯一解,求实数 $k$ 的值;

(2)求证:当 $a\leqslant 1$ 时,$x\left(f(x)+kx-k\right)<{\rm e}^x-ax^2-1$;


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分析与解 (1)函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{1-kx}x.\]
情形一 $k>1$.此时在区间 $\left(\dfrac 1k,1\right)$ 上,函数 $f(x)$ 单调递减,而 $f(1)=0$,因此该区间上均有 $f(x)\geqslant 0$,不符合题意.

情形二 $k=1$.此时\[\begin{array} {c|ccc}\hline x&(0,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline f(x)&\nearrow&0&\searrow\\ \hline\end{array}\]不等式 $f(x)\geqslant 0$ 有唯一解 $x=1$,符合题意.

情形三 $0<k<1$.此时在区间 $\left(1,\dfrac 1k\right)$ 上,函数 $f(x)$ 单调递增,而 $f(1)=0$,因此该区间上均有 $f(x)\geqslant 0$,不符合题意.

情形四 $k\leqslant 0$.此时当 $x\geqslant 1$ 时,均有 $f(x)\geqslant 0$,不符合题意.

综上所述,实数 $k$ 的值为 $1$.

(2)只需要证明\[x\cdot \ln x<{\rm e}^x-x^2-1.\]
情形一 $0<x\leqslant 1$.记右侧函数为 $\varphi(x)$,则其导函数\[\varphi'(x)={\rm e}^x-2x\geqslant {\rm e}x-2x>0,\]于是 $\varphi(x)$ 单调递增,有\[\varphi(x)>0\geqslant x\cdot \ln x,\]不等式成立.

情形二 $x>1$.此时证明\[\dfrac{\ln x}{x}\leqslant\dfrac{1}{\rm e}<\dfrac 13{\rm e}^{\frac 32}-1\leqslant\dfrac{{\rm e}^x-x^2-\dfrac{1}4{\rm e}^{\frac 32}}{x^2}<\dfrac{{\rm e}^x-x^2-1}{x^2}\]即得.

 事实上 $y=\dfrac{\ln x}x$ 在 $x={\rm e}$ 处取得极大值 $\dfrac{1}{\rm e}$,函数\[y=\dfrac{{\rm e}^x-x^2-\dfrac{1}4{\rm e}^{\frac 32}}{x^2}\]在 $x=\dfrac 32$ 处取得极小值.

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