每日一题[1119]对数平均不等式

设函数 $f(x)=4\ln x-\dfrac 12ax^2+(4-a)x$,其中 $a\in\mathbb R$.
(1)讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2)若函数 $f(x)$ 存在极值,对于任意的 $0<x_1<x_2$,存在正实数 $x_0$,使得 $$f(x_1)-f(x_2)=f'(x_0)\cdot (x_1-x_2),$$试判断 $x_1+x_2$ 与 $2x_0$ 的大小关系并给出证明.


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分析与解 (1)函数 $f(x)$ 的导函数\[\begin{split}f'(x)=&\dfrac 4x-ax+(4-a)\\=&\dfrac{(-ax+4)(x+1)}x,\end{split}\]于是按照 $a$ 与 $0$ 的大小关系讨论.

情形一 $a\leqslant 0$.此时 $f'(x)>0$,于是 $f(x)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递增;

情形二 $a>0$.此时 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 4a\right)$ 上单调递增,在 $\left(\dfrac 4a,+\infty\right)$ 上单调递减.

(2)函数 $f(x)$ 存在极值,因此 $a>0$.根据题意,有\[\begin{split}f'(x_0)=&\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\\=&4\cdot \dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}-\dfrac 12a(x_1+x_2)+(4-a),\end{split}\]而\[f'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)=\dfrac{8}{x_1+x_2}-a\cdot \dfrac{x_1+x_2}2+(4-a).\]根据对数平均不等式,我们有\[\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}> \dfrac{2}{x_1+x_2},\]于是\[f'(x_0)>f'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right),\]又 $f'(x)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递减,因此\[x_0<\dfrac{x_1+x_2}2,\]进而 $x_1+x_2>2x_0$.

 由于 $f'(x)$ 是下凸函数(即 $f'''(x)>0$),因此函数 $f(x)$ 的切线斜率变化越来越慢,于是与割线斜率相等的切线的切点位置会偏向起点,也即 $x_1+x_2>2x_0$.

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