每日一题[1117]割线斜率

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-ax$($a>0$).如果 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$,记过点 $A(x_1,f(x_1))$ 和 $B(x_2,f(x_2))$ 的直线斜率为 $k$,若 $k>-\dfrac{2}{\rm e}$,求实数 $a$ 的取值范围.


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分析与解 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-a,\]于是当 $a>2$ 时,函数 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$,其中\[a={\rm e}^{x_1}+{\rm e}^{-x_1}.\]考虑到函数 $f(x)$ 为奇函数,因此直线 $AB$ 经过原点 $O$,不妨设 $x_1>0>x_2$,进而\[k=\dfrac{f(x_1)}{x_1}=\dfrac{{\rm e}^{x_1}-{\rm e}^{-x_1}-ax_1}{x_1}>-\dfrac{2}{\rm e},\]因此\[\dfrac{{\rm e}^{x_1}-{\rm e}^{-x_1}}{x_1}-\left({\rm e}^{x_1}+{\rm e}^{-x_1}\right)>-\dfrac{2}{\rm e}.\]记\[\varphi(x)=\dfrac{{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{x}-\left({\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}\right),\]则其导函数\[\begin{split}\varphi'(x)=&-\left({\rm e}^x-{\rm e}^{-x}\right)\cdot \left(1+\dfrac 1{x^2}\right)+\dfrac{{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}}x\\=&\dfrac 1{x^2}\left[x({\rm e}^x+{\rm e}^{-x})-(x^2+1)({\rm e}^x-{\rm e}^{-x})\right],\end{split}\]记 $g(x)=x({\rm e}^x+{\rm e}^{-x})-(x^2+1)({\rm e}^x-{\rm e}^{-x})$,则\[g'(x)=-x^2({\rm e}^x+{\rm e}^{-x})-x({\rm e}^x-{\rm e}^{-x}),\]当 $x>0$ 时,$g'(x)<0$,且 $g(0)=0$,所以\[\forall x>0,g(x)<0.\]于是在 $(0,+\infty)$ 上 $\varphi'(x)<0$,结合 $\varphi(x)$ 为偶函数得到 $\varphi(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增,在 $(0,+\infty)$ 上单调递减.又 $\varphi(1)=-\dfrac 2{\rm e}$,所以由 $\varphi(x_1)>\varphi(1)$ 得到 $0<x_1<1$,因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(2,{\rm e}+\dfrac{1}{\rm e}\right)$.

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