每日一题[1120]根式函数的值域

函数 $y=\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-3x}$ 的值域是_______．

正确答案是$\left[\dfrac{\sqrt{15}}3,\dfrac{5\sqrt 6}6\right]$．

分析与解　题中函数的定义域是 $\left[-\dfrac 12,\dfrac 13\right]$．一方面，根据柯西不等式，有\[\begin{split} \sqrt{1+2x}+\sqrt{1-3x}&=\sqrt 2\cdot \sqrt{\dfrac 12+x}+\sqrt 3\cdot \sqrt{\dfrac 13-x}\\&\leqslant\sqrt 5\cdot \sqrt{\dfrac 12+\dfrac 13}\\&=\dfrac{5}{\sqrt 6},\end{split}\]等号当\[\dfrac{2}{\dfrac 12+x}=\dfrac{3}{\dfrac 13-x},\]即 $x=-\dfrac 16$ 时取得，因此 $y$ 的最大值为 $\dfrac{5\sqrt 6}{6}$．

另一方面，有\[\begin{split}y=&\sqrt{2-x+2\sqrt{(1+2x)(1-3x)}}\\\geqslant &\sqrt{2-\dfrac 13}=\dfrac{\sqrt {15}}{3},\end{split}\]等号当 $x=\dfrac 13$ 时取得．

结合函数的连续性，所求函数的值域为 $\left[\dfrac{\sqrt{15}}3,\dfrac{5\sqrt 6}6\right]$．