每日一题[1120]根式函数的值域

函数 $y=\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-3x}$ 的值域是_______.


cover

正确答案是$\left[\dfrac{\sqrt{15}}3,\dfrac{5\sqrt 6}6\right]$.

分析与解 题中函数的定义域是 $\left[-\dfrac 12,\dfrac 13\right]$.一方面,根据柯西不等式,有\[\begin{split} \sqrt{1+2x}+\sqrt{1-3x}&=\sqrt 2\cdot \sqrt{\dfrac 12+x}+\sqrt 3\cdot \sqrt{\dfrac 13-x}\\&\leqslant\sqrt 5\cdot \sqrt{\dfrac 12+\dfrac 13}\\&=\dfrac{5}{\sqrt 6},\end{split}\]等号当\[\dfrac{2}{\dfrac 12+x}=\dfrac{3}{\dfrac 13-x},\]即 $x=-\dfrac 16$ 时取得,因此 $y$ 的最大值为 $\dfrac{5\sqrt 6}{6}$.

另一方面,有\[\begin{split}y=&\sqrt{2-x+2\sqrt{(1+2x)(1-3x)}}\\\geqslant &\sqrt{2-\dfrac 13}=\dfrac{\sqrt {15}}{3},\end{split}\]等号当 $x=\dfrac 13$ 时取得.

结合函数的连续性,所求函数的值域为 $\left[\dfrac{\sqrt{15}}3,\dfrac{5\sqrt 6}6\right]$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了, 标签。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[1120]根式函数的值域》有 2 条评论

  1. di说:

    求最小值时化到根号下2-1/3的那一步没看懂?用的是基本不等式的那一个?

发表评论