每日一题[1115]有章可循

已知函数 $f(x)=\begin{cases} -\dfrac 12x,&x>0,\\ -{\rm e}^{-x},&x\leqslant 0,\end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f(f(x))=m$ 恰有两个实数解$x_1,x_2$,则 $4x_1+x_2$ 的最小值为_______.


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正确答案是$4-4\ln 2$.

分析与解 函数 $f(x)$ 的图象如图.

根据题意,方程 $f(t)=m$ 在 $[-1,+\infty)$ 上有一个实数解.于是 $m\leqslant -{\rm e}$,进而 $t\leqslant -1$,两个实数解分别为 $-\ln (-t)$ 和 $-2t$.问题即求\[\varphi(t)=-4\ln (-t)-2t\]在 $(-\infty,-1]$ 上的最小值.

函数 $\varphi(t)$ 的导函数\[\varphi'(t)=-\dfrac{2t+4}{t},\]因此当 $t=-2$ 时,函数 $\varphi(t)$ 取得最小值\[\varphi(-2)=4-4\ln 2.\]此时 $m=f(-2)=-{\rm e}^2$.


下面给出一道练习:

已知函数 $f(x)=\begin{cases} \big|\log_3x\big|,&0<x\leqslant 3,\\-x+4,&x>3,\end{cases}$ 若 $a<b<c$,且 $f(a)=f(b)=f(c)$,则 $(ab+2)^c$ 的取值范围是________.

正确答案是$(27,81)$.

函数 $f(x)$ 的图象如下.
设 $f(a)=f(b)=f(c)=m$,则\[\begin{split} -{\log_3}a=m,\\ {\log_3}b=m,\\ -c+4=m,\end{split}\]因此\[(ab+2)^c=\left(3^{-m}\cdot 3^m+2\right)^{4-m}=3^{4-m},\]其中 $0<m<1$.因此所求代数式的取值范围是 $(27,81)$.

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