每日一题[1553]迈不过去的坎

有多少种方式可以将正整数集合 $\mathbb{N}^{\ast}$ 分成两个不相交的子集的并,使得每个子集都不包含无穷等差数列?(        )

A.$0$

B.$1$

C.无穷

D.前三个答案都不对

答案       C.

解析       令集合\[\begin{split} A_1&=\{1\},\\ A_2&=\{2,3\},\\ A_3&=\{4,5,6\},\\ A_4&=\{7,8,9,10\},\\ &\vdots\\ A_n&=\left\{\dfrac{n(n-1)}{2}+1,\dfrac{n(n-1)}{2}+2,\cdots,\dfrac{n(n+1)}{2}\right\},\\ &\vdots\end{split}\]则取\[P=\bigcup_{k=1}^{+\infty}A_{dk},Q=\complement_{\mathbb N^{\ast}}P,\]其中 $d\in\mathbb N$ 且 $d\geqslant 2$,则 $P,Q$ 均由若干“簇”组成,且这些“簇”之间的的距离(“坎”)逐渐增大,因此无论无穷等差数列的公差多么大,都必然会出现它迈不过去的“坎”,而根据 $d$ 的任意性,符合题意的划分方式有无数种.

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