每日一题[1560]反向柯西不等式

在 $\triangle ABC$ 中,$AB=2AC$,且其面积 $S_{\triangle ABC}=1$,则 $BC$ 的最小值是_______.

答案     $\sqrt 3$.

解析     由 $S_{\triangle ABC}=1$ 可得\[\dfrac 12\sin A\cdot AB\cdot AC=1\implies \sin A\cdot AC^2=1\implies AC=\dfrac{1}{\sqrt{\sin A}},\]于是根据余弦定理结合柯西不等式,有\[\begin{split} BC&=\sqrt{AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A}\\ &=\sqrt{\dfrac{5-4\cos A}{\sin A}}\\ &\geqslant \sqrt{\dfrac{\sqrt{5^2-4^2}\cdot\sqrt{1-\cos^2A}}{\sin A}}\\ &=\sqrt 3,\end{split}\]等号当 $\cos A=\dfrac 45$ 时取得,因此所求最小值为 $\sqrt 3$.

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