每日一题[1554]阳光普照

若对平面上的某一格点,连接原点 $O$ 与该点的线段 $OP$ 上没有其他格点,称格点 $P$ 为自原点可见的.求证:平面上任意一点 $P$ 自原点可见的概率大于 $\dfrac 12$.

解析       考虑第一象限内的格点 $P(a,b)$,其自原点可见即 $(a,b)=1$.设任取两个正整数 $a,b$,其最大公约数为 $x$ 的概率\[p(x)=\dfrac 1x\cdot \dfrac 1x\cdot p(1),\]即对于给定的正整数 $x$,$p(x)$ 等于 $a$ 是 $x$ 的倍数的概率,$b$ 是 $x$ 的倍数的概率以及 $\dfrac ax$ 与 $\dfrac bx$ 互质的概率之积.因此\[\sum_{x=1}^{+\infty}\dfrac{p(1)}{x^2}=1,\]即\[p(1)=\dfrac{1}{1+\dfrac 14+\dfrac 19+\cdots+\dfrac 1{x^2}+\cdots}>\dfrac1{1+\dfrac 1{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\dfrac1{(x-1)x}+\cdots}>\dfrac 12.\]

备注       事实上,有 $p(1)=\dfrac{6}{\pi^2}\approx 0.61$.

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