每日一题[1555]强者恒强

将 $2n$ 个数 $1,2,3,\cdots,2n$ 分为两组,每组 $n$ 个数,将第一组从大到小排列为 $a_1,a_2,\cdots,a_n$,将第二组从小到大排列为 $b_1,b_2,\cdots,b_n$,然后将两组对应位置的数作差取绝对值,求证:这些绝对值的和为定值.

答案       定值为$n^2$.

解析       建立表格\[\begin{array} {c|c|c|c|c|c}\hline a_1&a_2&\cdots&a_k&\cdots&a_n\\ \hline b_1&b_2&\cdots&b_k&\cdots&b_n\\ \hline\end{array}\]有\[\begin{cases} a_k>a_{k+1}>\cdots>a_n,\\ b_k>b_{k-1}>\cdots>b_1,\end{cases}\]于是 $\max\{a_k,b_k\}$ 比 $a_{k+1},\cdots,a_n$ 和 $b_1,\cdots,b_{k-1}$,共 $n$ 个数大,因此\[\begin{split}\sum_{k=1}^n|a_k-b_k|&=\sum_{k=1}^n\max\{a_k,b_k\}-\sum_{k=1}^n\min\{a_k,b_k\}\\ &=((n+1)+(n+2)+\cdots+2n)-(1+2+\cdots+n)\\ &=n^2,\end{split}\]为定值.

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