每日一题[1552]整理根式

设曲线 $C:|x^2-16y|=256-16|y|$ 所围成的封闭区域为 $D$.

1、 求区域 $D$ 的面积.

2、设过点 $M(0,-16)$ 的直线与曲线 $C$ 交于 $P,Q$,求 $|PQ|$ 的最大值.

解析

1、根据题意,有\[\begin{cases} x^2-16y\geqslant 0,\\ y\geqslant 0,\\ x^2=256,\end{cases}\lor\begin{cases} x^2-16y\geqslant 0,\\ y<0,\\ x^2-16y=256+16y,\end{cases}\lor \begin{cases} x^2-16y\leqslant 0,\\ y\geqslant 0,\\ -x^2+16y=256-16y,\end{cases}\]即\[\begin{cases} 0\leqslant y\leqslant \dfrac {x^2}{16},\\ x=\pm 16,\end{cases}\lor\begin{cases} y<0,\\ y=\dfrac{x^2}{32}-8,\end{cases}\lor \begin{cases} y\geqslant \dfrac{x^2}{16},\\ y=\dfrac{x^2}{32}+8,\end{cases}\] 如图,为区域 $D$,其面积为 $512$.

2、设直线 $PQ:y=kt-16$,则考虑直线 $PQ$ 与曲线 $C$ 的位置关系,可得讨论分分界点为 $|k|=1,2$,如图.

当 $1\leqslant |k|\leqslant 2$ 时,有\[|PQ|=16\sqrt{1+k^2}\cdot \left(1-\left(k-\sqrt{k^2-1}\right)\right)=16\sqrt{1+k^2}\cdot \left(1-\dfrac{1}{k+\sqrt{k^2-1}}\right),\]于是 $|PQ|$ 随 $|k|$ 的增大而增大.当 $|k|\geqslant 2$ 时,有\[|PQ|=16\sqrt{1+k^2}\cdot \left(\sqrt{k^2-1}-\sqrt{k^2-3}\right)=\dfrac{32}{\sqrt{1-\dfrac{2}{k^2+1}}+\sqrt{1-\dfrac{4}{k^2+1}}},\]于是 $|PQ|$ 随着 $|k|$ 的增大而减小(视 $PQ$ 与 $x$ 轴垂直为 $|k|\to +\infty$ 的情形). 综上所述,当 $|k|=2$ 时,$|PQ|$ 取得最大值,为 $16\sqrt{20-10\sqrt 3}$.

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