每日一题[1613]递推概率

掷一枚硬币，每次出现正面得 $1$ 分，出现反面得 $2$ 分．反复掷这枚硬币，则恰好得 $n$ 分的概率为[[nn]]．

答案    $\dfrac 23+\dfrac 13\left(-\dfrac 12\right)^n$．

解析    设得$n$分的概率为$P_n$，则\[1-P_n=\dfrac 12P_{n-1}\implies P_n=1-\dfrac 12P_{n-1}\implies P_n=\dfrac 23+\dfrac 13\left(-\dfrac 12\right)^n.\]