每日一题[1614]三射线定理

如图,在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中,$AB=AC=5$,$D,E$ 分别为 $BC,BB_1$ 的中点,四边形 $B_1BCC_1$ 是边长为 $6$ 的正方形.

1、求证:$A_1B \parallel AC_1D$.

2、求证:$CE \perp AC_1D$.

3、求二面角 $C-AC_1-D$ 的余弦值.

解析

1、连接 $A_1C$ 交 $AC_1$ 于 $O$,连接 $OD$,如图.

由于 $O$ 平分 $A_1C$,$D$ 平分 $BC$,于是 $OD\parallel A_1B$,进而 $A_1B\parallel AC_1D$.

2、直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中,侧棱 $C_1C$ 与面 $ABC$ 垂直,进而 $C_1C\perp AD$,又 $AD\perp BC$,于是 $AD\perp BCC_1B_1$,进而 $AD\perp CE$.又 $CE\perp C_1D$,于是 $CE\perp AC_1D$.

3、考虑三面角 $C_1-ACD$,由于 $\tan\angle AC_1C=\dfrac 56$,$\tan\angle CC_1D=\dfrac 12$,$\tan\angle AC_1D=\dfrac{4}{3\sqrt 5}$,于是二面角 $C-AC_1-D$ 的大小 $\varphi$ 满足\[\cos\angle CC_1D=\cos\angle CC_1A\cos\angle AC_1D+\sin\angle CC_1A\sin\angle AC_1D\cos\varphi,\]即\[\dfrac2{\sqrt 5}=\dfrac{6}{\sqrt{61}}\cdot \dfrac{3\sqrt 5}{\sqrt {61}}+\dfrac{5}{\sqrt {61}}\cdot \dfrac{4}{\sqrt {61}}\cos\varphi,\]解得 $\cos\varphi=\dfrac{8\sqrt 5}{25}$.

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