每日一题[1615]先估再验

设 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数,则方程 $2^x-2[x]-1=0$ 的实数解的个数为(       )

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$

答案    C.

解析    考虑方程 $2^x-1=2[x]$.当 $x<0$ 时,有\[2^x-1>-1>-2\geqslant 2[x],\]当 $x\geqslant 3$ 时,有\[2^x-1> 2x\geqslant 2[x],\]于是 $2[x]$ 的取值只可能为 $0,2,4$,对应 $x$ 的取值分别为 $0,{\log_2}3,{\log_2}4$,均是题中方程的实数解,因此所求解的个数为 $3$.

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