已知 $a,b,c\in\mathbb R^+$，解方程组\[\begin{cases}ca=20(b+c),\\ bc=5(a+b),\\ ab=6(c+a).\end{cases}\]
已知正实数 $a,b$ 满足 $a^2+b^2=1$，则 $m=\dfrac{a^3+b^3+1}{(a+b+1)^3}$ 的取值范围为_______．
设 $x,y,z>0$，$x+y+z=1$，则 $m=\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}$ 的最大值为_______．
如题，用一段序言描述一下：
由于清北的自招政策所限，这些自招考试（或相关的考试）笔试题不对外公开，这对试题的收集整理工作造成了很大的困难，因此本书中的绝大部分试题均来源于参试同学的回忆以及网络资源（部分题目在作答时有所改动）．在过去的十多年中，我坚持进行这项工作，并希望读者能在我的工作的基础上得到收益．本书与我所写的其他书一样，尽量展示解决这些问题的简洁优美的思路与方法．
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祝大家中秋节快乐！
矩形 $ABCD$ 中，$AB=2\sqrt 3$，$BC=6$，$E,F$ 分别是 $AD,BC$ 上的动点，$CF=2AE$，连接 $EF$，以 $EF$ 为边构造等边三角形 $EFG$，则 $DG$ 的最小值为_______．
已知函数 $y=f(x)$ 是定义域为 $\mathbb R$ 的周期为 $3$ 的奇函数，且当 $x\in\left(0,\dfrac 32\right)$，$f(x)=\ln (x^2-x+1)$，则方程 $f(x)=0$ 在区间 $[0,6]$ 上的解的个数是_______．
已知 $a,b,c$ 是三角形三边，证明：$\dfrac{a}{2a+c-b}+\dfrac{b}{2b+a-c}+\dfrac{c}{2c+b-a}\geqslant \dfrac 32$．
在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，$2ab\sin A+(ac-6)\sin 2B=2b^2\sin A\cos C$，$b=2$，则 $\triangle ABC$ 的外接圆面积的最小值为_______．
如图，等边三角形 $ABC$ 的边长为 $2$，顶点 $B,C$ 分别在 $x$ 轴的非负半轴，$y$ 轴的非负半轴上移动，$M$ 为 $AB$ 的中点，则 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}$ 的最大值为_______．
函数 $f(x)=\dfrac{1+\sqrt 3\sin 2x+\cos 2x}{1+\sin x+\sqrt 3\cos x}$ 的值域为_______．
