每日一题[1347]三角消元

已知正实数 $a,b$ 满足 $a^2+b^2=1$,则 $m=\dfrac{a^3+b^3+1}{(a+b+1)^3}$ 的取值范围为_______.

答案    $\left[\dfrac{3\sqrt 2}2-2,\dfrac 14\right)$.

解析    设 $a=\cos\theta$,$b=\sin\theta$,其中 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$,则\[\begin{split} m&=\dfrac{\cos^3\theta+\sin^3\theta+1}{(\cos\theta+\sin\theta+1)^3}\\ &=\dfrac{(\cos\theta+\sin\theta)(1-\sin\theta\cos\theta)+1}{(\cos\theta+\sin\theta+1)^3}\\ &=\dfrac{(t-1)\cdot \left(1-\dfrac{t^2-2t}2\right)+1}{t^3}\\ &=-\dfrac 12+\dfrac 3{2t},\end{split}\]其中 $t=\cos\theta+\sin\theta+1$.由 $t$ 的取值范围是 $\left(2,\sqrt 2+1\right]$,可得 $m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{3\sqrt 2}2-2,\dfrac 14\right)$.

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