每日一题[1345]运动的轨迹

矩形 $ABCD$ 中,$AB=2\sqrt 3$,$BC=6$,$E,F$ 分别是 $AD,BC$ 上的动点,$CF=2AE$,连接 $EF$,以 $EF$ 为边构造等边三角形 $EFG$,则 $DG$ 的最小值为_______.

答案    $\dfrac{\sqrt{21}}7$.

解析    连接 $AC$ 交 $EF$ 于 $H$,连接 $GH,DH$,如图.

由于 $CF=2AE$,于是 $CH=2EH$,因此 $H$ 为 $AC$ 上的定点.注意到 $\angle EHG$ 为定值 $\theta$,于是 $G$ 点的轨迹是直线 $AD$ 绕 $H$ 顺时针旋转 $\theta$,再以 $H$ 为中心,$\dfrac{HG}{HE}$ 为比例位似得到的直线 $l$.解 $\triangle EHG$ 可得\[\theta=\pi -\arcsin\dfrac{3\sqrt{3}}{2\sqrt 7},\dfrac{HG}{HE}=\sqrt 7,\]于是 $DH$ 与直线 $l$ 的夹角为\[\pi-\theta-\angle HDA=\arcsin\dfrac{3\sqrt{3}}{2\sqrt 7}-\arctan\dfrac{\sqrt 3}6,\]因此 $DG$ 的最小值即 $D$ 到直线 $l$ 的距离,为\[DH\cdot \sin\left(\arcsin\dfrac{3\sqrt{3}}{2\sqrt 7}-\arctan\dfrac{\sqrt 3}6\right)-\dfrac{2\sqrt 3}3\cdot \sqrt 7=\dfrac{\sqrt{21}}7.\]

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