每日一题[1346]切线放缩

设 $x,y,z>0$,$x+y+z=1$,则 $m=\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}$ 的最大值为_______.

答案    $\dfrac{27}{10}$.

解析    利用切线构造辅助不等式\[\dfrac{1}{1+x^2}\leqslant -\dfrac{27}{50}\cdot\left(x-\dfrac 13\right)+\dfrac{9}{10},\]即\[\dfrac{(4-3x)(3x-1)^2}{50(1+x^2)}\geqslant 0,\]该不等式对 $x\in [0,1]$ 均成立.因此\[m=\sum_{cyc}\dfrac{1}{1+x^2}\leqslant \dfrac{27}{10},\]等号当 $x=y=z=\dfrac 13$ 时取得,所求最大值为 $\dfrac{27}{10}$.

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