每日一题[1348]齐次消元

已知 $a,b,c\in\mathbb R^+$,解方程组\[\begin{cases}ca=20(b+c),\\ bc=5(a+b),\\ ab=6(c+a).\end{cases}\]

答案    $(30,10,20)$.

解析    根据题意,有\[\begin{cases} \dfrac{ca}{bc}=\dfrac{20}{5}\cdot \dfrac{b+c}{a+b},\\ \dfrac{ca}{ab}=\dfrac{20}{6}\cdot \dfrac{b+c}{c+a},\end{cases}\]即\[\begin{cases} x=4\cdot \dfrac{1+y}{x+1},\\ y=\dfrac{10}3\cdot \dfrac{1+y}{x+y},\end{cases}\]其中 $x=\dfrac ab$,$y=\dfrac cb$,$x,y>0$.整理得\[\begin{cases} y=\dfrac{x^2+x-4}4,\\ 3y(y+x)=10(1+y),\end{cases}\]代入消元,可得\[(x-3)(3x^3+27x^2+32x-16)=0,\]由 $y>0$ 可得 $x>1$,于是\[x=3,\]进而\[y=2,\]代入原方程组,可得\[b=10,\]因此所求解为 $(a,b,c)=(30,10,20)$.

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