每日一题[1344]移形换影

已知函数 $y=f(x)$ 是定义域为 $\mathbb R$ 的周期为 $3$ 的奇函数,且当 $x\in\left(0,\dfrac 32\right)$,$f(x)=\ln (x^2-x+1)$,则方程 $f(x)=0$ 在区间 $[0,6]$ 上的解的个数是_______.

答案    $9$.

解析    当 $x\in\left[0,\dfrac 32\right)$ 时,函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x+1},\]于是函数 $f(x)$ 先单调递减再单调递增,注意到\[f(0)=f(1)=0,\]于是函数 $f(x)$ 在 $\left[0,\dfrac 32\right)$ 上有 $2$ 个零点 $x=0,1$.又函数 $y=f(x)$ 是定义域为 $\mathbb R$ 的周期为 $3$ 的奇函数,于是\[f\left(\dfrac 32\right)=f\left(-\dfrac 32\right)=0,\]从而方程 $f(x)=0$ 在 $[0,6]$ 上的解为\[0,1,\dfrac 32,2,3,4,\dfrac 92,5,6,\]共 $9$ 个.

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