Math173

已知正数 $x,y$ 满足 $xy(x+2y)=2$，则 $x+y$ 的最小值为_______．

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已知 $f(x)={\rm e}^{x-1}+x^2+a$，$g(x)=x^2+ax+\ln x$．

1、讨论 $g(x)$ 的单调性．

2、已知 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的图象有且只有一个公共点 $P(x_0,y_0)$，求证：$x_0<2$．

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已知无穷数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 满足：对任意的 $n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $a_{n+1}=|b_n|-|c_n|$，$b_{n+1}=|c_n|-|a_n|$，$c_{n+1}=|a_n|-|b_n|$．记 $d_n=\max\{|a_n|,|b_n|,|c_n|\}$．

1、若 $a_1=1$，$b_1=2$，$c_1=4$，求 $a_4,b_4,c_4$ 的值．

2、若 $a_1=1$，$b_1=2$，求满足 $d_2=d_3$ 的 $c_1$ 的所有值．

3、设 $a_1,b_1,c_1$ 为非零整数，且 $|a_1|,|b_1|,|c_1|$ 互不相等，证明：存在正整数 $k$，使得数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 中有且只有一个数列自第 $k$ 项起各项全为 $0$．

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设函数 $f(x)=|x^3-ax-b|$，$x\in [-1,1]$，其中 $a,b\in\mathbb R$．若 $f(x)\leqslant M$ 恒成立，则当 $M$ 取得最小值时，$a+b$ 的值为_______．

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已知直线 $l$ 与曲线 $f(x)={\rm e}^x$ 和 $g(x)=\ln x$ 分别相切于 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$x_1>x_2$，$O$ 为坐标原点．下列命题中正确的有（       ）

A．$\angle AOB$ 是钝角

B．$x_1+y_2=0$

C．$x_1\in (1,2)$

D．以上答案都不对

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已知梯形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AD}$，$AB=AD=CD$，若平面内一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}=0$，且 $\overrightarrow{PB}=x\overrightarrow{PA}+y\overrightarrow{PC}$，其中 $x>0$，$y>0$，则 $x+y$ 的最小值为_______．

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已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_n>0$，且 $a_n^2=2a_{n+1}^2-a_{n+1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），下列说法正确的是（       ）

A．若 $a_1=\dfrac 12$，则 $a_n>a_{n+1}$

B．若 $a_n<a_{n+1}$，则 $a_1>1$

C．$a_1+a_5\leqslant 2a_3$

D．$|a_{n+2}-a_{n+1}|\leqslant \dfrac{\sqrt 2}2|a_{n+1}-a_n|$

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已知函数 $f(x)={\rm e}^x-ax$．

1、当 $a>0$ 时，设函数 $f(x)$ 的最小值为 $g(a)$，求证：$g(a)\leqslant 1$．

2、若函数 $h(x)=f(x)-\dfrac 12x^2$ 有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$），证明：$h(x_1)+h(x_2)>2$．

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抛物线 $P:y^2=4x$ 的焦点为 $F$，点 $A,B,C$ 在 $P$ 上，且 $\triangle ABC$ 的重心为 $F$，则 $|FA|+|FB|$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(3,\dfrac 92\right)\cup\left(\dfrac 92,5\right]$

B．$\left[4,\dfrac 92\right)\cup\left(\dfrac 92,5\right]$

C．$(3,4)\cup\left(4,\dfrac 92\right)$

D．$[3,5]$

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若复数 $z$ 的虚部不为 $0$，且 $z^3+z+1=0$，则（       ）

A．$|z|<1$

B．$|z|=1$

C．$1<|z|<\sqrt 2$

D．$|z|\geqslant \sqrt 2$

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