求证存在无穷多个正整数 $n$，使得可 $1,2,\cdots,3n$ 列成数表 \[\begin{matrix}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {b_{1}} & {b_{2}} & {\cdots} & {b_{n}} \\ {c_{1}} & {c_{2}} & {\cdots} & {c_{n}}\end{matrix}\] 满足如下两个条件：
① $a_{1}+b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}=\cdots=a_{n}+b_{n}+c_{n}$ 且为 $6$ 的倍数；
② $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}=c_{1}+c_{2}+\cdots+c_{n}$ 且为 $6$ 的倍数．
设实数 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{1997}$ 满足如下两个条件：
① $-\dfrac{1}{\sqrt{3}} \leqslant x_{i} \leqslant \sqrt{3}$，$i=1,2, \ldots, 1997$；
② $x_{1}+x_{2}+\dots+x_{1997}=-318 \sqrt{3}$．
试求 $x_{1}^{12}+x_{2}^{12}+\dots+x_{1997}^{12}$ 的最大值，并说明理由．
设 $a,b,c>0$，且满足 $abc=1$，求证：$\left(a-1+\dfrac 1b\right)\left(b-1+\dfrac 1c\right)\left(c-1+\dfrac 1a\right)\leqslant 1$．
设 $a,b,c$ 为正实数，且满足 $abc=1$．试证：$\dfrac{1}{a^{3}(b+c)}+\dfrac{1}{b^{3}(c+a)}+\dfrac{1}{c^{3}(a+b)} \geqslant \dfrac{3}{2}$．
$\triangle ABC$ 中，$M,N$ 分别是边 $AB,AC$ 上的点，且满足 $\dfrac {BM}{MA} + \dfrac{CN}{NA}=1$．证明：线段 $MN$ 经过 $\triangle ABC$ 的重心．
设直线 $y = x+\sqrt 2$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）相交于 $M, N$ 两点，且 $OM \perp ON$（其中 $O$ 为原点），若 $MN = \sqrt 6$，求椭圆的方程．
设集合 $A=\{n(n+1)\mid n=1, 2, \cdots\}$，$B=\{3m - 1\mid m=1,2, \cdots\}$，若将集合 $A \cap B$ 的元素按自小到大的顺序排列成一个数列 $\{a_k\}$，则数列 $\{a_k\}$ 的通项公式为 $a_k=$ _______．
若 $a,b,c$ 为给定的互不相同的实数，则代数式 $f(x) = \dfrac{a^2(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \dfrac{b^2(x-c)(x-a)}{(b-a)(b-c)} + \dfrac{c^2(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$ 经化简后得到_______．
设 $A,B,C$ 为抛物线 $y=x^2$ 上不同的点，$R$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆的半径，求 $R$ 的取值范围．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0 = \dfrac 1 k$，$a_n = a_{n-1} + \dfrac 1 {n^2}a_{n-1}^2$，其中 $k$ 为正整数．如果对于所有的 $n \in \mathbb N^{\ast}$，都有 $a_n<1$，求 $k$ 的取值范围．
