每日一题[1669]双剑合璧

设集合 $A=\{n(n+1)\mid n=1, 2, \cdots\}$,$B=\{3m - 1\mid m=1,2, \cdots\}$,若将集合 $A \cap B$ 的元素按自小到大的顺序排列成一个数列 $\{a_k\}$,则数列 $\{a_k\}$ 的通项公式为 $a_k=$ _______.

答案    $9k^2-9k+2$.

根据题意,有\[a_k=n(n+1)=3m-1,\]于是\[(2n+1)^2=3(4m-1),\]因此 $3\mid 2n+1$,进而 $n=3p-2$,从而\[(6p-3)^2=3(4m-1)\implies m=3p^2-3p+1,\]进而可得数列 $\{a_k\}$ 的通项公式为 $a_k=9k^2-9k+2$.

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