每日一题[1674]调整法

设实数 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{1997}$ 满足如下两个条件:

① $-\dfrac{1}{\sqrt{3}} \leqslant x_{i} \leqslant \sqrt{3}$,$i=1,2, \ldots, 1997$;

② $x_{1}+x_{2}+\dots+x_{1997}=-318 \sqrt{3}$.

试求 $x_{1}^{12}+x_{2}^{12}+\dots+x_{1997}^{12}$ 的最大值,并说明理由.

答案     $189548$.

解析    考虑函数 $f(x)=(t+x)^{12}+(t-x)^{12}$,其中 $t$ 为常数.显然 $f(x)$ 为偶函数且展开式中所有偶次项系数均为正,所有奇次项均为 $0$ 所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上为增函数. 所以对于任何 $x_i,x_j$($1\leqslant i,j\leqslant 1997$ 且 $i,j\in\mathbb N$),当 $x_{i}+x_{j}$ 为定值时,$\left|x_{j}-x_{i}\right|$ 的值越大,$x_{i}^{12}+x_{j}^{12}$ 越大.这样我们逐次进行调整,过程如下:\[ (x_i,x_j)\to \begin{cases} \left(x_i+x_j-\sqrt 3,\sqrt 3\right),&x_i+x_j>\sqrt 3-\dfrac{1}{\sqrt 3},\\ \left(-\dfrac{1}{\sqrt 3},x_i+x_j+\dfrac{1}{\sqrt 3}\right),&x_i+x_j\leqslant \sqrt 3-\dfrac{1}{\sqrt 3},\end{cases}\] 这样调整后 $F=x_{1}^{12}+x_{2}^{12}+\cdots+x_{1997}^{12}$ 的值增大,经过有限次这样的调整后,最多有一个 $x_{i}$ 不等于 $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ 或 $\sqrt{3}$,此时达到最大值.设此时有 $k$ 个 $\sqrt{3}$,$1996-k$ 个 $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$,另一个为 $m\in \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\right)$,有\[k\sqrt 3+(1996-k)\cdot \left(-\dfrac{1}{\sqrt 3}\right)+m=-318\sqrt 3,\]即\[4k+m\sqrt 3=1042,\]解得 $k=260$,$m=\dfrac{2}{\sqrt 3}$,因此 $F$ 的最大值为\[260\cdot \left(\sqrt 3\right)^{12}+1736\cdot \left(-\dfrac1{\sqrt 3}\right)^{12}+\left(\dfrac 2{\sqrt 3}\right)^{12}=189548.\]

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