每日一题[1673]齐次换元

设 $a,b,c>0$,且满足 $abc=1$,求证:$\left(a-1+\dfrac 1b\right)\left(b-1+\dfrac 1c\right)\left(c-1+\dfrac 1a\right)\leqslant 1$.

解析

令 $a=\dfrac yz,b=\dfrac zx,c=\dfrac xy$,其中 $x,y,z>0$,则$$LHS=\dfrac{y-z+x}z\cdot \dfrac{z-x+y}{x}\cdot \dfrac{x-y+z}{y}=\dfrac{8mnp}{(m+n)(n+p)(p+m)},$$其中 $2m=y-z+x,2n=z-x+y,2p=x-y+z$.由于 $m+n,n+p,p+m>0$,于是 $m,n,p$ 中至多有一个非正数,进而有$$\dfrac{8mnp}{(m+n)(n+p)(p+m)}\leqslant 1,$$原不等式得证.

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