每日一题[1671]共线表达

$\triangle ABC$ 中,$M,N$ 分别是边 $AB,AC$ 上的点,且满足 $\dfrac {BM}{MA} + \dfrac{CN}{NA}=1$.证明:线段 $MN$ 经过 $\triangle ABC$ 的重心.

解析    设 $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}$,则\[\dfrac{BM}{MA}+\dfrac{CN}{NA}=1\implies \dfrac{1-\lambda}{\lambda}+\dfrac{AC-AN}{AN}=1\implies \dfrac{AN}{AC}=\dfrac{\lambda}{3\lambda-1},\]因此\[\overrightarrow{AN}=\dfrac{\lambda}{3\lambda-1}\overrightarrow{AC},\]又 $\triangle ABC$ 的重心 $G$ 满足\[\overrightarrow{AG}=\dfrac 13\overrightarrow{AB}+\dfrac 13\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{3\lambda}\cdot \lambda\overrightarrow{AB}+\left(1-\dfrac{1}{3\lambda}\right)\cdot \dfrac{\lambda}{3\lambda-1}\overrightarrow{AC},\]因此线段 $MN$ 经过 $\triangle ABC$ 的重心.

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