每日一题[1670]内准圆

设直线 $y = x+\sqrt 2$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)相交于 $M, N$ 两点,且 $OM \perp ON$(其中 $O$ 为原点),若 $MN = \sqrt 6$,求椭圆的方程.

答案    $\dfrac{x^2}{4+2\sqrt 2}+\dfrac{y^2}{4-2\sqrt 2}=1$.

解析    原点 $O$ 到直线 $y=x+\sqrt 2$ 的距离为 $1$,根据椭圆的内准圆性质,有\[\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}=1,\]其中 $b^2<2$.联立直线方程与椭圆方程,可得\[\left(\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}\right)x^2+\dfrac{2\sqrt 2}{b^2}x+\dfrac{2}{b^2}-1=0,\]即\[b^2x^2+2\sqrt 2 x+2-b^2=0,\]根据弦长公式,有\[MN=\sqrt 2\cdot \dfrac{\sqrt{8-4b^2(2-b^2)}}{b^2}=\sqrt 6,\]解得 $b^2=4-2\sqrt 2$,进而 $a^2=4+2\sqrt 2$.

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