每日一题[1678]集合分划

设 $X$ 是一个有限集合,法则 $f$ 使得 $X$ 的每一个偶子集 $E$(偶数个元素组成的子集)都对应一个实数 $f(E)$,满足条件:

① 存在一个偶子集 $D$,使得 $f(D)>1990$;

② 对于 $X$ 的任意两个不相交的偶子集 $A,B$,有 $f(A\cup B)=f(A)+f(B)-1990$.

求证:存在 $X$ 的子集 $P,Q$,满足

① $P\cap Q=\varnothing$,$P\cup Q=X$;

② 对 $P$ 的任何非空偶子集 $S$,有 $f(S)>1990$;

③ 对 $Q$ 的任何偶子集 $T$,有 $f(T)\leqslant 1990$.

解析

在条件 ② 中,取 $A=B=\varnothing$,可得 $f(\varnothing)=1990$.考虑 $X$ 的所有偶子集组成的集合 $O$ 中选择一个偶子集 $P$,使得\[\forall P_0\in O,f(P_0)\leqslant f(P),\]且若 $f(P_0)=f(P)$,则 $P\not\subseteq P_0$.取 $Q=X\setminus P$,则 $P,Q$ 即为满足题意的分划,证明如下.

对 $P$ 的任意非空偶子集 $S $,有\[f\left(P\right)=f\left(S\right)+f\left(P\setminus S\right)-1990\implies f(S)-1990=f(P)-f(P\setminus S)>0,\]所以 $f(S)>1990$.

对 $Q$ 的任意偶子集 $T$,若 $T$ 为空集,则 $f(T)=1990$,符合题意;若 $T$ 不为空集,则\[ f\left(P\cup T\right)=f\left(P\right)+f\left(T\right)-1990\leqslant f\left(P\right)\implies f\left(T\right)\leqslant 1990 ,\]所以 $P,Q$ 满足条件,命题得证.

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