每日一题[1680]纵云梯

求方程 $2^x\cdot 3^y-5^z\cdot 7^w=1$ 的所有非负整数解 $(x,y,z,w)$.

答案    $(1,0,0,0),(3,0,0,1),(1,1,1,0),(2,2,1,1)$.

解析    由 $5 ^z\cdot 7^w+1$ 为偶数,可得 $x\geqslant 1$.

情形一    若 $y=0$,此时 $2^x-5^z\cdot 7^w=1$.

① 若 $z\neq 0$,则\[2^x\equiv 1\pmod 5\implies 4\mid x\implies 3\mid 2^x-1,\]这与 $2^x-5^z\cdot 7^w=1$ 矛盾.

② 若 $z=0$,则 $2^x-7^w=1$. 当 $x=1,2,3$ 时,直接计算可得两组解 $(x,w)=(1,0),(3,1)$. 当 $x\geqslant 4$ 时,有 $7^w=2^x-1\equiv -1 \pmod{16}$,但\[7^w\equiv \begin{cases} 1 \pmod{16},&2\mid w,\\ 7\pmod{16},&2\nmid w,\end{cases}\]矛盾. 所以当 $ y=0 $ 时全部非负实数解为 $(x,y,z,w)=(1,0,0,0),(3,0,0,1)$.

情形二    若 $y\geqslant 1$ 且 $x=1$,此时 $2\cdot 3^y-5^z\cdot 7^w=1$,有\[5^z\cdot 7^w=2\cdot 3^y-1\implies (-1)^z\equiv -1\pmod 3\implies z\equiv 1\pmod 2,\]进而\[2\cdot 3^y=5^z\cdot 7^w+1\implies 2\cdot 3^y\equiv 1\pmod 5\implies y\equiv 1\pmod 4.\]

① 若 $w\neq 0$,则\[2\cdot 3^y\equiv 1 \pmod 7\implies y\equiv 4\pmod 6,\]与 $ y\equiv 1\pmod 4$ 矛盾.

② 若 $ w=0 $,则 $ 2\cdot 3^y-5^z=1 $. 当 $ y=1 $ 时,$ z=1 $. 当 $ y\geqslant 2 $ 时,有\[5^z\equiv -1\pmod 9\implies z\equiv 3\pmod 6 \implies 5^3+1\mid 5^z+1,\]所以 $ 7\mid 5^z+1 $,这与 $ 5^z+1=2\cdot 3 $ 矛盾.

情形三    若 $ y\geqslant 1$ 且 $x\geqslant 2 $.此时\[\begin{cases} 5^z\cdot 7^w\equiv -1\pmod 4,\\ 5^z\cdot 7^w\equiv -1\pmod 3,\end{cases}\implies \begin{cases} (-1)^w\equiv -1\pmod 4,\\ (-1)^z\equiv -1\pmod 3,\end{cases}\]因此 $ z,w $ 都是奇数,从而\[2^x\cdot 3^y=5^z\cdot 7^w+1\equiv 35+1\equiv 4\pmod 8,\]所以 $ x=2 $,原方程变为 $ 4\cdot 3^y-5^z\cdot 7^w=1$,其中 $z,w $ 都是奇数.由此可知\[\begin{cases} 4\cdot 3^y\equiv 1\pmod 5,\\ 4\cdot 3^y\equiv 1\pmod 7,\end{cases}\implies y\equiv 2\pmod{12},\] 设 $ y=12m+2$($m\in\mathbb N$),于是\[5^z\cdot 7^w=4\cdot 3^y-1=(2\cdot 3^{6m+1}-1)(2\cdot 3^{6m+1}+1),\] 所以\[2\cdot 3^{6m+1}-1=5^p\cdot 7^q,\]其中 $ p,q \in\mathbb N$. 根据对情形二的讨论,必有\[(6m+1,p,q)=(1,1,0)\implies (x,y,z,w)=(2,2,1,1).\]

综上所述,所求的非负整数解为 $(x,y,z,w)=(1,0,0,0),(3,0,0,1),(1,1,1,0),(2,2,1,1)$.

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