Math173

已知 $f$ 是直角坐标平面 $xOy$ 到自身的一个映射，点 $P$ 在映射 $f$ 下的象为点 $Q$，记作 $Q=f(P)$．设 $P(x_{1},y_{1})$，$P_{2}=f(P_{1})$，$P_{3}=f(P_{2})$，$\cdots$，$P_{n}=f(P_{n-1})$，$\cdots\cdots$．如果存在一个圆，试所有的点 $P_{n}(x_{n},y_{n})(n\in\mathbb N^{*})$ 都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点 $P(x_{n},y_{n})$ 的一个收敛圆．特别地，当 $P_{1}=f(P_{1})$ 时，则称点 $P_{1}$ 为映射 $f$ 下的不动点．

1、点 $P(x,y)$ 在映射 $f$ 下的象为点 $Q(2x,1-y)$． ① 求映射 $f$ 下不动点的坐标； ② 若 $P_{1}$ 的坐标为 $(1,2)$，判断点 $P_{n}\left(x_{n},y_{n}\right)(n\in\mathbb N^{*})$ 是否存在一个半径为 $3$ 的收敛圆，并说明理由．

2、若点 $P(x,y)$ 在映射 $f$ 下的象为点 $Q\left(\dfrac{x+y}{2}+1,\dfrac{x-y}{2}\right)$，$P_{1}(2,3)$．求证：点 $P_{n}(x_{n},y_{n})(n\in\mathbb N^{*})$ 存在一个半径为 $\sqrt 5$ 的收敛圆．

设 $m>3$，对于有穷数列 $\{a_{n}\}(n=1,2,\cdots,m)$，令 $b_{k}$ 为 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{k}$ 中的最大值，称数列 $\{b_{n}\}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的“创新数列”，数列 $\{b_{n}\}$ 中不相等项的个数称为 $\{a_{n}\}$ 的“创新阶数”．例如数列 $2,1,3,7,5$ 的创新数列为 $2,2,3,7,7$，创新阶数为 $3$．

1、考查自然数 $1,2,\cdots,m(m>3)$ 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列 $\{c_{n}\}$．

2、若 $m=5$，写出创新数列为 $3,4,4,5,5$ 的所有数列 $\{c_{n}\}$． 是否存在数列 $\{c_{n}\}$，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列 $\{c_{n}\}$，若不存在，请说明理由．

3、在创新阶数为 $2$ 的所有数列 $\{c_{n}\}$ 中，求它们的首项的和．

1、已知函数 $ f\left(x\right)=\ln x-x+1 $，$ x\in \left(0,+\infty \right) $，求函数 $ f\left(x\right) $ 的最大值．

2、设 $ a_k,b_k \left(k=1,2,\cdots,n\right)$ 均为正数，证明： ① 若 $ a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\leqslant b_1+b_2+\cdots+b_n $，则 $ a^{b_1}_1a^{b_2}_2\cdots a^{b_n}_n\leqslant 1 $； ② 若 $ b_1+b_2+\cdots+b_n=1 $，则 $ {\dfrac{1}{n}}\leqslant b^{b_1}_1b^{b_2}_2\cdots b^{b_n}_n\leqslant b^2_1+b^2_2+\cdots+b^2_n $．

$\tt 2005$ 年日本札幌医科大学高考第 $3$ 题：

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$（$a>0$）． 已知 $C$ 在第一象限的部分上有一点 $P$，设 $P$ 处的切线 $l$ 与 $x,y$ 轴的交点分别为 $A,B$．

1、求线段 $AB$ 长度最小时的 $P$ 点坐标，和此时切线 $l$ 的方程．

2、设椭圆关于第 $(1)$ 小题中的直线 $l$ 对称后的图形为 $C'$，求 $C'$ 与 $x$ 轴有交点的 $a$ 的取值范围．

定义函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最大值与最小值的差为 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的极差，记作 $d(a,b)$． ① 若 $f(x)=x^2-2x+2$，则 $d(1,2)=$_______； ② 若 $f(x)=x+\dfrac{m}{x}$，且 $d(1,2)\ne \left|f(2)-f(1)\right|$，则实数 $m$ 的取值范围是_______．

在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=2$，$BC=1$，$AA_1=3$，$M,N$ 分别在线段 $AA_1$ 和 $AC$ 上，$MN=1$，则三棱锥 $C_1-MND$ 的体积的最小值为_______．

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$．已知 $c=2\sqrt 5$，且 $2a\sin C\cos B=a\sin A-b\sin B+\dfrac{\sqrt 5}2b\sin C$，点 $O$ 满足 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，$\cos \angle CAO=\dfrac 38$，则 $\triangle ABC$ 的面积为( )

A．$\dfrac{\sqrt{55}}3$

B．$3\sqrt 5$

C．$5\sqrt 2$

D．$\sqrt{55}$

已知函数 $f(x)=x\ln x-\dfrac 12ax^2-x$（$a\in\mathbb R$）．
1、若曲线 $y=f(x)$ 在 $x={\rm e}$ 处切线的斜率为 $-1$，求此切线的方程．
2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，求 $a$ 的取值范围，并证明：$x_1x_2>x_1+x_2$．

在棱长为 $3$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$\triangle A_1DB$ 与 $\triangle A_1DC_1$ 的重心分别为 $E,F$，则正方体的外接球被 $E,F$ 所在的直线截得的弦长为( )

A．$5$

B．$\sqrt{26}$

C．$3\sqrt 3$

D．$2\sqrt 7$

已知函数 $f(x)=(ax+1){\rm e}^x$，$a\in\mathbb R$．

1、当 $a>0$ 时，证明：$f(x)+\dfrac a{\rm e}>0$．

2、当 $a=-\dfrac 12$ 时，如果 $x_1\ne x_2$，且 $f(x_1)=f(x_2)$，证明：$x_1+x_2<2$．