Math173

对于各项均为整数的数列 $\{a_{n}\}$，如果 $a_{i}+i$（$i=1,2,3,\cdots$）为完全平方数，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有“$P$ 性质”． 不论数列 $\{a_{n}\}$ 是否具有“$P$ 性质”，如果存在与 $\{a_{n}\}$ 不是同一个数列的 $\{b_{n}\}$，且 $\{b_{n}\}$ 同时满足下面两个条件； ① $b_{1},b_{2},b_{3},\cdots,b_{n}$ 是 $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n}$ 是一个排列； ② 数列 $b_{n}$ 具有“$P$ 性质”，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有“变换 $P$ 性质”．

1、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\dfrac{n}{3}\left(n^{2}-1\right)$，证明数列 $\{a_{n}\}$ 具有“性质 $P$”．

2、试判断数列 $1,2,3,4,5$ 和数列 $1,2,3,\cdots,11$ 是否具有“变换 $P$ 性质”，具有此性质的数列请写出对应的数列 $\{b_{n}\}$，不具此性质的说明理由．

3、对于有限项数列 $A:1,2,3,\cdots,n$．某人已经验证当 $n\in[12,m^{2}](m\geqslant 5)$ 时，数列 $A$ 具有“变换 $P$ 性质”．试证明：当 $n\in\left[m^{2}+1,(m+1)^{2}\right]$ 时，数列 $A$ 也具有“变换 $P$ 性质”．

继续阅读 →

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足：$a_{1}=0$，$a_{n}=\begin{cases}2a_{\frac{n}{2}}+1,&2\mid n,\\ \dfrac{n+1}{2}+2a_{\frac{n-1}{2}},&2\nmid n\end{cases},n=2,3,4,\cdots$．

1、求 $a_{5},a_{6},a_{7}$．

2、设 $b_{n}=\dfrac{a_{2^{n}-1}}{2^{n}}$，试求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式．

3、对任意的正整数 $n$，试讨论 $a_{n}$ 与 $a_{n+1}$ 的大小关系．

继续阅读 →

已知曲线 $C:xy=1$，过 $C$ 上一点 $A_{1}(x_{1},y_{1})$ 作斜率 $k_{1}$ 的直线，交曲线 $C$ 于另一点 $A_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)$，再过 $A_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)$ 作斜率为 $k_{2}$ 的直线，交曲线 $C$ 于另一点 $A_{3}(x_{3},y_{3})$，$\cdots$，过 $A_{n}\left(x_{n},y_{n}\right)$ 作斜率为 $k_{n}$ 的直线，交曲线 $C$ 于另一点 $A_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})$，$\cdots$，其中 $x_{1}=1$，$k_{n}=-\dfrac{x_{n}+1}{x_{n}^{2}+4x_{n}},x\in\mathbb N^{*}$．

1、求 $x_{n+1}$ 与 $x_{n}$ 的关系式．

2、判断 $x_{n}$ 与 $2$ 的大小关系，并证明你的结论．

3、求证：$|x_{1}-2|+|x_{2}-2|+\cdots+|x_{n}-2|<2$．

继续阅读 →

已知数集 $\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\}$（$1\leqslant a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}$，$n\geqslant 2$）具有性质 $P$：对任意的 $i,j$（$1\leqslant i\leqslant j\leqslant n$），$a_{i}a_j$ 与 $\dfrac{a_{j}}{a_{i}}$ 两数中至少有一个属于 $A$．

1、分别判断数集 $\{1,3,4\}$ 与 $\{1,2,3,6\}$ 是否具有性质 $P$，并说明理由．

2、证明：$a_{1}=1$，且 $\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}=a_{n}$．

3、证明：当 $n=5$ 时，$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ 成等比数列．

继续阅读 →

已知对于任意的 $x\in [-1,1]$，都有 $|ax^2+bx+c|\leqslant 1$，求证：对于任意的 $x\in [-1,1]$，都有 $|cx^2+bx+a|\leqslant 2$．

继续阅读 →

如图，在单位四面体 $ABCD$ 中，$M,N,K$ 分别在棱 $AB,AD,BD$ 上，满足 $BM=DN=\dfrac 13$，$DK=\dfrac 14$，则面 $ACK$ 与面 $CMN$ 所夹锐角的余弦值为_______．

继续阅读 →

已知 $100$ 个不大于 $100$ 的正整数 $a_i$，满足 $a_1+a_2+\cdots+a_{100}=200$，求证：可以从 $a_1,a_2,\cdots,a_{100}$ 中选出若干个数，它们的和为 $100$．

继续阅读 →

任意 $m$ 个连续正整数中，必有一个数的各位数码之和是 $11$ 的倍数，则 $m$ 的最小值为_______．

继续阅读 →

严格递增的正实数数列 $\{x_n\}$ 满足：$x\in\{x_n\}$ 当且仅当 $x+\{x\}^2$ 为整数（其中等式中的 $\{x\}$ 表示 $x$ 的小数部分），那么这个数列的前 $100$ 项之和是______．

继续阅读 →