如图所示，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设点 $M(x_0,y_0)$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2} 4+y^2=1$ 上一点，左右焦点分别是 $F_1,F_2$，从原点 $O$ 向圆 $M$：$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$（$0<r<1$）作两条切线分别与椭圆 $C$ 交于点 $P,Q$，直线 $OP,OQ$ 的斜率分别记为 $k_1,k_2$．
1、设直线 $MF_1,MF_2$ 分别与圆交于 $A,B$ 两点，当 $|AF_1|-|BF_2|=2r$ 时，求点 $A$ 的轨迹方程．
2、当 $k_1\cdot k_2$ 为定值时，求 $|OP|\cdot|OQ|$ 的最大值．
在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AC=3$，$\sin C=k\sin A$（$k\geqslant2$），则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为_______．
设点 $O$ 为三角形 $ABC$ 内一点，且满足关系式：\[\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA},\]则 $\dfrac {S_{\triangle AOB}+2S_{\triangle BOC}+3S_{\triangle COA}} {S_{\triangle ABC}}=$ _______．
已知棱长为 $\sqrt3$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线 $AC_1$ 为轴，则该圆柱体积的最大值为________．
已知 $\dfrac{\sin\theta} {\sqrt 3\cos\theta+1}>1$，则 $\tan\theta$ 的取值范围是_______．
如图，$F_1,F_2$ 是双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{4}=1$ 的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于 $A,B$．又设 $O$ 为坐标原点．
1、求证：$|OA|\cdot |OB| =| OF_1| ^2$．
2、求证：$F_1,F_2,A,B$ 四点在一个圆上．
设 $x_1,x_2,x_3$ 是方程 $x^3-17x-18=0$ 的三个根，$-4<x_1<-3$，且 $4<x_3<5$．
1、求 $x_2$ 的整数部分．
2、求 $\arctan x_1+\arctan x_2 + \arctan x_3$ 的值．
设 $W$ 是由平面内的 $n $（$ n\geqslant 3 $）个向量组成的集合．若 $ \overrightarrow{a}\in W $，且 $ \overrightarrow{a} $ 的模不小于 $ W $ 中除 $ \overrightarrow{a} $ 外的所有向量之和的模，则称 $ \overrightarrow{a} $ 是 $ W $ 的一个极大向量．有下列命题：
① 若 $ W $ 中每个向量的方向都相同，则 $ W $ 中必存在一个极大向量；
② 给定平面内两个不共线向量 $ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} $，在该平面内总存在唯一的平面向量 $ \overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} $，使得 $ W=\left\{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\right\} $ 中的每个元素都是极大向量；
③ 若 $ W_1=\left\{\overrightarrow{a}_1,\overrightarrow{a}_2,\overrightarrow{a}_3\right\} $ 与 $ W_2=\left\{\overrightarrow{b}_1,\overrightarrow{b}_2,\overrightarrow{b}_3\right\} $ 中的每个元素都是极大向量，且 $ W_1\cap W_2=\varnothing $，则 $ W_1\cup W_2$ 中的每一个元素也都是极大向量．
其中真命题的序号有_______．
若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列 $\{a_{n}\}$ 是调和数列，对于各项都是正数的数列 $\{x_{n}\}$，满足 $x_{n}^{a_{n}}=x_{n+1}^{a_{n+1}}=x_{n+2}^{a_{n+2}}$（$n\in\mathbb N^{*}$）．
1、求证：数列 $\{x_{n}\}$ 是等比数列．
2、把数列 $\{x_{n}\}$ 中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表，当 $x_{3}=8$，$x_{7}=128$ 时，求第 $m$ 行各数的和； \[\begin{array}{cccc}\\ x_{1}&&&\\ x_{2}&x_{3}&&\\ x_{4}&x_{5}&x_{6}&\\ x_{7}&x_{8}&x_{9}&x_{10}\\ \cdots&\cdots&&\\ \end{array}\]
3、对于 $(2)$ 中的数列 $\{x_{n}\}$，证明：$\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{3}<\dfrac{x_{1}-1}{x_{2}-1}+\dfrac{x_{2}-1}{x_{3}-1}+\cdots+\dfrac{x_{n}-1}{x_{n+1}-1}<\dfrac{n}{2}$．
