求所有的正实数对 $(a,b)$，使得函数 $f(x)=ax^{2}+b$ 满足：对任意实数 $x,y$，有\[f(xy)+f(x+y)\geqslant f(x)f(y).\]
直线 $x-2y-1=0$ 与抛物线 $y^2=4x$ 交于 $A,B$ 两点，$C$ 为抛物线上的一点，$\angle{ACB}=90^{\circ}$，则点 $C$ 的坐标为_______．
已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 $n$，都有$$(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2=a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3.$$
1、当数列 $\{a_n\}$ 为三项数列时，求所有满足条件的数列 $a_1,a_2,a_3$．
2、是否存在满足条件的无穷数列 $\{a_n\}$，使得 $a_{2013}=-2012$？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
过抛物线 $y=x^2$ 上的一点 $A(1,1)$ 作抛物线的切线，分别交 $x$ 轴于 $D$，交 $y$ 轴于 $B$，点 $C$ 在抛物线上，点 $E$ 在线段 $AC$ 上，满足 $\dfrac{AE}{EC}=\lambda_1$，点 $F$ 在线段 $BC$ 上，满足 $\dfrac{BF}{FC}=\lambda_2$，且 $\lambda_1+\lambda_2=1$，线段 $CD$ 与 $EF$ 交于点 $P$，当点 $C$ 在抛物线上移动时，求点 $P$ 的轨迹方程．
数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac {\pi}{6}$，$a_{n+1}=\arctan (\sec a_n)$（$n \in \mathbb N^{\ast}$）．求正整数 $m$，使得$$\sin a_1 \cdot \sin a_2 \cdots \sin a_m=\dfrac {1}{100}.$$
设等边三角形 $ABC$ 的内切圆半径为 $2$，圆心为 $I$．若点 $P$ 满足 $PI=1$，则 $\triangle APB$ 与 $\triangle APC$ 的面积之比的最大值为_______．
设实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，$abc>0$．求证：\[ab+bc+ca<\dfrac {\sqrt {abc}}{2}+\dfrac 14.\]
随机地将 $1,2,3,4,5,6$ 中这六个数分为 $A,B$ 两组，每组三个数．$A$ 组中最小数为 $a_1$，最大数为 $a_2$；$B$ 组中最小数为 $b_1$，最大数为 $b_2$，记 $X=a_2-a_1$，$Y=b_2-b_1$，则（ ）
A．$E(X)=\dfrac 72$
B．$E(X)=\dfrac 73$
C．$P(X=Y)=\dfrac 25$
D．$P(X=Y)=\dfrac{3}{10}$
设正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_{100}$ 满足 $a_i\geqslant a_{101-i}$（$i=1,2,\cdots,50$）．记 $x_k=\dfrac{ka_{k+1}}{a_1+a_2+\cdots+a_k}$（$k=1,2,\cdots,99$）．证明：$x_1x_2^2\cdots x_{99}^{99}\leqslant 1$．
设实数 $x,y$ 满足 $x^3+27y^3+9xy=1$，则（ ）
A．$x^3y$ 的最大值为 $\dfrac 13$
B．$x^3y$ 的最大值为 $\dfrac{27}{64}$
C．$x^3y$ 的最小值为 $-\dfrac{\sqrt 3}3$
D．$x^3y$ 无最小值
