每日一题[1746]伸缩成圆

作斜率为 $\dfrac 13$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 交于 $A,B$ 两点(如图所示),且 $P\left(3\sqrt 2,\sqrt 2\right)$ 在直线 $l$ 的左上方.

1、证明:$\triangle{PAB}$ 的内切圆的圆心在一条定直线上.

2、若 $\triangle{APB}=60^{\circ}$,求 $\triangle{PAB}$ 的面积.

解析

1、作仿射变换 $x'=x$,$y'=3y$,则椭圆 $C$ 变为圆 $C':x'^2+y'^2=36$,$P'\left(3\sqrt 2,3\sqrt 2\right)$,直线 $l'$ 的斜率为 $-1$.

过 $O$ 作 $A'B'$ 的垂线交圆 $C'$ 于 $Q'$,则 $Q'\left(3\sqrt 2,-3\sqrt 2\right)$,因此 $P'Q'$ 平分 $\angle A'P'B'$,进而 $x=3\sqrt 2$ 平分 $\angle APB$,因此 $\triangle PAB$ 的内切圆的圆心在一条定直线 $x=3\sqrt 2$ 上.

2、根据第 $(1)$ 小题的结果,直线 $P'A'$ 和 $P'B'$ 的 斜率为 $\pm3\sqrt 3$,直线 $A'B'$ 的斜率为 $1$.根据到角公式,有\[\begin{cases} \tan A'=\dfrac{3\sqrt 3-1}{1+3\sqrt 3},\\ \tan B'=\dfrac{1+3\sqrt 3}{1-3\sqrt 3},\\ \tan P'=\dfrac{3\sqrt 3}{13},\end{cases}\]而 $\triangle A'B'P'$ 的外接圆直径 $d=12$,因此 $\triangle A'B'P'$ 的面积\[S'=\dfrac12d^2\sin A'\sin B'\sin P'=\dfrac 12\cdot 12^2\cdot \dfrac{13}{28}\cdot \dfrac{3\sqrt 3}{14}=\dfrac{351\sqrt 3}{49},\]进而 $\triangle PAB$ 的面积\[S=\dfrac 13S'=\dfrac{117\sqrt 3}{49}.\]

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