已知实数 $x_1,x_2,x_3$ 满足 $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2+x_2x_3=2$，则 $|x_2|$ 的最大值是_______．
已知函数 $f(x)=|\sin x|$，$x \in \mathbb R$．
1、证明：$\sin 1 \leqslant f(x)+f(x+1) \leqslant 2\cos \dfrac 12$．
2、证明：对任意的正整数 $n$，有$$\dfrac {f(n)}{n}+\dfrac {f(n+1)}{n+1}+\cdots+\dfrac {f(3n-1)}{3n-1}>\dfrac {\sin 1}{2}.$$
求实数 $a$ 的取值范围，使不等式$$\sin 2\theta-2\sqrt 2 \cos \left(\theta -\dfrac {\pi}{4}\right)-\dfrac {\sqrt 2 a}{\sin \left(\theta +\dfrac {\pi}{4}\right)}>-3-a^2$$对 $\theta \in \left[0,\dfrac {\pi}{2}\right]$ 恒成立．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=\dfrac 12$，$a_n=a_{n-1}+\dfrac {1}{n^2}a_{n-1}^2$．
1、求证：$\dfrac {1}{a_{n-1}}-\dfrac {1}{a_{n}}<\dfrac {1}{n^2}$．
2、求证：$a_n<n$（$n \in \mathbb N^{\ast}$）．
3、求证：$\dfrac {1}{a_{n}}\leqslant \dfrac {5}{6}+\dfrac {1}{n+1}$（$n \in \mathbb N^{\ast}$）．
设一圆和一等轴双曲线交于 $A_1,A_2,A_3,A_4$ 四点，其中 $A_1$ 和 $A_2$ 是圆的直径的一对端点．
1、求证：线段 $A_3A_4$ 的中点是双曲线的中心．
2、求双曲线在点 $A_3$ 和 $A_4$ 处的切线和直线 $A_1A_2$ 的夹角的大小．
设 $-\dfrac {\pi}{2}\leqslant x \leqslant \dfrac {\pi}{2}$，且方程 $\cos 2x -4a \cos x -a+2=0$ 有两个不同的解，求 $a$ 的取值范围．
已知由 $3$ 的幂或者若干个不同的 $3$ 的幂之和组成的递增数列：$1,3,4,9,10,12,13,\cdots$，则此数列的第 $100$ 项是_______．
称所有元素的平方和为奇数的非空有限数集为平凡集，若集合 $A=\{1,2,3,\cdots,2016,2017\}$，则 $A$ 的所有真子集中平凡集的个数为（允许用数的幂次表示）_______．
已知 $a>0$，$f(x)={\ln}(2x+1)+2ax-4a{\mathrm e}^x+4$．
1、当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 的最大值．
2、判断函数 $f(x)$ 零点的个数，并说明理由．
