Math173

设函数 $f(x)=x^3+bx+c$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(\dfrac 12,f\left(\dfrac 12\right)\right)$ 处的切线与 $y$ 轴垂直．

1、求 $b$．

2、若 $f(x)$ 有一个绝对值不大于 $1$ 的零点，证明：$f(x)$ 所有零点的绝对值都不大于 $1$．

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已知椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{m^{2}}=1$（$0<m<5$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$，$A,B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点．

1、求 $C$ 的方程．

2、若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|B P|=|B Q|$，$BP \perp B Q$，求 $\triangle A P Q$ 的面积．

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关于函数 $f(x)=\sin x+\dfrac{1}{\sin x}$ 有如下四个命题：

① $f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称．

② $f(x)$ 的图象关于原点对称．

③ $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 对称．

④ $f(x)$ 的最小值为 $2 $．

其中所有真命题的序号是_______．

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已知 $5^{5}<8^{4}$，$13^{4}<8^{5}$．设 $a=\log _{5} 3$，$ b=\log _{8} 5$，$ c=\log _{13} 8$，则（       ）

A．$a<b<c$

B．$b<a<c$

C．$b<c<a$

D．$c<a<b$

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已知函数 $f(x)=2\ln x+1$．

1、若 $f(x)\leqslant 2x+c$，求 $c$ 的取值范围．

2、设 $a>0$，讨论函数 $g(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 的单调性．

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若 $2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}$，则（       ）

A．$\ln(y-x+1)>0$

B．$\ln (y-x+1)<0$

C．$\ln |x-y|>0$

D．$\ln |x-y|<0$

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已知函数 $f(x)=\sin^2x\cdot \sin 2x$．

1、讨论 $f(x)$ 在区间 $(0,\pi)$ 内的单调性．

2、证明：$|f(x)|\leqslant \dfrac{3\sqrt 3}8$．

3、设 $n\in\mathbb N^{\ast}$，证明：$\sin ^2x\sin^2(2x)\sin^2(4x)\cdots\sin^2(2^nx)\leqslant \dfrac{3^n}{4^n}$．

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如图，已知三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面是正三角形，侧面 $BB_1C_1C$ 是矩形，$M,N$ 分别为 $BC,B_1C_1$ 的中点，$P$ 为 $AM$ 上一点．过 $B_1C_1$ 和 $P$ 的平面交 $AB$ 于 $E$，交 $AC$ 于 $F$．

1、证明：$AA_1\parallel MN$，且 $A_1AMN\perp EB_1C_1F$．

2、设 $O$ 为 $\triangle A_1B_1C_1$ 的中心．若 $AO\parallel EB_1C_1F$，且 $AO=AB$，求直线 $B_1E$ 与平面 $A_1AMN$ 所成角的正弦值．

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已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点 $F$ 与抛物线 $C_2$ 的焦点重合，$C_1$ 的中心与 $C_2$ 的顶点重合．过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $C_1$ 于 $A,B$ 两点，交 $C_2$ 于 $C,D$ 两点，且 $|CD|=\dfrac 43|AB|$．

1、求 $C_1$ 的离心率．

2、设 $M$ 是 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点．若 $|MF|=5$，求 $C_1$ 与 $C_2$ 的标准方程．

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设有下列四个命题：

$p_1$：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．

$p_2$：过空间中任意三点有且仅有一个平面．

$p_{3}$：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．

$p_{4}$：若直线 $l \subset$ 平面 $\alpha$，直线 $m \perp$ 平面 $\alpha$，则 $m \perp l$．

则下述命题中所有真命題的序号是_______．

① $p_1\land p_4$；

② $p_1\land p_2$；

③ $\neg p_2\lor p_3$；

④ $\neg p_3\lor \neg p_4$．