已知梯形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AD}$，$AB=AD=CD$，若平面内一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}=0$，且 $\overrightarrow{PB}=x\overrightarrow{PA}+y\overrightarrow{PC}$，其中 $x>0$，$y>0$，则 $x+y$ 的最小值为_______．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_n>0$，且 $a_n^2=2a_{n+1}^2-a_{n+1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），下列说法正确的是（ ）
A．若 $a_1=\dfrac 12$，则 $a_n>a_{n+1}$
B．若 $a_n<a_{n+1}$，则 $a_1>1$
C．$a_1+a_5\leqslant 2a_3$
D．$|a_{n+2}-a_{n+1}|\leqslant \dfrac{\sqrt 2}2|a_{n+1}-a_n|$
已知函数 $f(x)={\rm e}^x-ax$．
1、当 $a>0$ 时，设函数 $f(x)$ 的最小值为 $g(a)$，求证：$g(a)\leqslant 1$．
2、若函数 $h(x)=f(x)-\dfrac 12x^2$ 有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$），证明：$h(x_1)+h(x_2)>2$．
抛物线 $P:y^2=4x$ 的焦点为 $F$，点 $A,B,C$ 在 $P$ 上，且 $\triangle ABC$ 的重心为 $F$，则 $|FA|+|FB|$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(3,\dfrac 92\right)\cup\left(\dfrac 92,5\right]$
B．$\left[4,\dfrac 92\right)\cup\left(\dfrac 92,5\right]$
C．$(3,4)\cup\left(4,\dfrac 92\right)$
D．$[3,5]$
若复数 $z$ 的虚部不为 $0$，且 $z^3+z+1=0$，则（ ）
A．$|z|<1$
B．$|z|=1$
C．$1<|z|<\sqrt 2$
D．$|z|\geqslant \sqrt 2$
已知函数 $f(x)=\dfrac ax+\dfrac 12\ln x-1$．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、若函数 $f(x)$ 存在两个零点 $x_1,x_2$，证明：$\dfrac{{\rm e}(x_1+x_2)}{x_1x_2}>2$．
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的一个焦点为 $\left(2\sqrt 2,0\right)$，过双曲线上的一点 $M$ 作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点 $A$，若 $\triangle OMA$ 的面积为 $1$，则双曲线的离心率 $e$ 为_______．
已知 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 成等比数列，满足 $a_1+a_2+a_3+a_4=(a_2+a_3+a_4)^2$，且 $a_4>1$，下列选项正确的是（ ）
A．$a_1>a_3$
B．$a_3>a_4$
C．$a_1>a_2$
D．$a_2<a_4$
已知 $\triangle ABC$ 中，$\sin C=2\cos A\cos B$，则 $\cos^2A+\cos^2B$ 的最大值是_______．
已知等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\cos (\omega n)$（$\omega \in \mathbb R$，$n\in\mathbb N^{\ast}$），则其前 $10$ 项和为_______．
