每日一题[1599]凹凸有致

已知 $a>0$,$f(x)={\ln}(2x+1)+2ax-4a{\mathrm e}^x+4$.

1、当 $a=1$ 时,求 $f(x)$ 的最大值.

2、判断函数 $f(x)$ 零点的个数,并说明理由.

答案    1、$0$;2、$\begin{cases} 2,&a\in (0,1),\\ 1,&a=1,\\ 0,&a\in (1,+\infty).\end{cases}$.

解析

1、当 $a=1$ 时,函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{2}{2x+1}+2-4{\rm e}^x,\]注意到 $f'(0)=0$ 且 $f'(x)$ 是 $\left(-\dfrac 12,+\infty\right)$ 上的单调递减函数,于是 $f(x)$ 在 $\left(-\dfrac 12,0\right)$ 上单调递增,在 $\left(0,+\infty\right)$ 上单调递减,因此 $f(x)$ 的最大值为 $f(0)=0$.

2、如图,当 $a=1$ 时,函数 $g(x)=\ln(2x+1)+4$ 与函数 $h(x)=4{\rm e}^x-2x$ 的图象相切于 $x=0$ 处,公切线为 $y=2x+4$,根据第 $(1)$ 小题的结果,函数 $f(x)$ 有唯一零点.

当 $a>1$ 时,有\[a(4{\rm e}^x-2x)>h(x)\geqslant g(x),\]于是函数 $f(x)$ 没有零点; 当 $0<a<1$ 时,有 $f(0)<0$,又取 $m=\dfrac{{\rm e}^{-4}-1}2$,则\[f(m)<\ln(2m+1)+4<0,\]取 $n=\dfrac{1+\sqrt{1+8a}}{a}$,则\[f(n)<2n+2n-4a\cdot \dfrac 12n^2+4=-2an^2+2n+4=0,\]因此函数 $f(x)$ 在 $(m,0)$ 和 $(0,n)$ 上都有零点,又 $f'(x)$ 单调,因此 $f(x)$ 至多有 $2$ 个零点,因此此时函数 $f(x)$ 有 $2$ 个零点. 综上所述,函数 $f(x)$ 的零点个数为 $\begin{cases} 2,&a\in (0,1),\\ 1,&a=1,\\ 0,&a\in (1,+\infty).\end{cases}$

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