设 $X$ 是一个有限集合，法则 $f$ 使得 $X$ 的每一个偶子集 $E$（偶数个元素组成的子集）都对应一个实数 $f(E)$，满足条件：
① 存在一个偶子集 $D$，使得 $f(D)>1990$；
② 对于 $X$ 的任意两个不相交的偶子集 $A,B$，有 $f(A\cup B)=f(A)+f(B)-1990$．
求证：存在 $X$ 的子集 $P,Q$，满足
① $P\cap Q=\varnothing$，$P\cup Q=X$；
② 对 $P$ 的任何非空偶子集 $S$，有 $f(S)>1990$；
③ 对 $Q$ 的任何偶子集 $T$，有 $f(T)\leqslant 1990$．
给定集合 $S=\{z_1,z_2,\cdots,z_{1993}\}$，其中 $z_1,z_2,\cdots,z_{1993}$ 是非零复数（可看作平面上的非零向量）．求证：可以把 $S$ 中的元素分成若干组，使得
① $S$ 中每个元素属于且仅属于其中一组；
② 每一组中任一复数与该组所有复数之和的夹角不超过 $90^\circ$；
③ 将任意两组中复数分别求和，所得和数之间的夹角大于 $90^\circ$．
给定实数 $a$ 和正整数 $n$．
1、求证：存在唯一的实数数列 $x_0,x_1,\cdots ,x_{n+1}$ 满足：
① $x_0=x_{n+1}=0$；
② $\dfrac 1 2(x_{i+1}+x_{i-1})=x_i+x_i^3-a^3$（$i=1,2,\cdots,n$）．
2、求证：$(1)$ 中的数列 $x_0,x_1,\cdots ,x_{n+1}$ 满足 $|x_i|\leqslant |a|$．
求证存在无穷多个正整数 $n$，使得可 $1,2,\cdots,3n$ 列成数表 \[\begin{matrix}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {b_{1}} & {b_{2}} & {\cdots} & {b_{n}} \\ {c_{1}} & {c_{2}} & {\cdots} & {c_{n}}\end{matrix}\] 满足如下两个条件：
① $a_{1}+b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}=\cdots=a_{n}+b_{n}+c_{n}$ 且为 $6$ 的倍数；
② $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}=c_{1}+c_{2}+\cdots+c_{n}$ 且为 $6$ 的倍数．
设实数 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{1997}$ 满足如下两个条件：
① $-\dfrac{1}{\sqrt{3}} \leqslant x_{i} \leqslant \sqrt{3}$，$i=1,2, \ldots, 1997$；
② $x_{1}+x_{2}+\dots+x_{1997}=-318 \sqrt{3}$．
试求 $x_{1}^{12}+x_{2}^{12}+\dots+x_{1997}^{12}$ 的最大值，并说明理由．
设 $a,b,c>0$，且满足 $abc=1$，求证：$\left(a-1+\dfrac 1b\right)\left(b-1+\dfrac 1c\right)\left(c-1+\dfrac 1a\right)\leqslant 1$．
设 $a,b,c$ 为正实数，且满足 $abc=1$．试证：$\dfrac{1}{a^{3}(b+c)}+\dfrac{1}{b^{3}(c+a)}+\dfrac{1}{c^{3}(a+b)} \geqslant \dfrac{3}{2}$．
$\triangle ABC$ 中，$M,N$ 分别是边 $AB,AC$ 上的点，且满足 $\dfrac {BM}{MA} + \dfrac{CN}{NA}=1$．证明：线段 $MN$ 经过 $\triangle ABC$ 的重心．
设直线 $y = x+\sqrt 2$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）相交于 $M, N$ 两点，且 $OM \perp ON$（其中 $O$ 为原点），若 $MN = \sqrt 6$，求椭圆的方程．
设集合 $A=\{n(n+1)\mid n=1, 2, \cdots\}$，$B=\{3m - 1\mid m=1,2, \cdots\}$，若将集合 $A \cap B$ 的元素按自小到大的顺序排列成一个数列 $\{a_k\}$，则数列 $\{a_k\}$ 的通项公式为 $a_k=$ _______．
