已知正实数 $x,y,z$ 满足 $xy+yz+zx\neq 1$，且\[\dfrac{(x^2-1)(y^2-1)}{xy}+\dfrac{(y^2-1)(z^2-1)}{yz}+\dfrac{(z^2-1)(x^2-1)}{zx}=4.\] 求 $\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}$ 的值．
已知 $a+b+c=5$，$a^2+b^2+c^2=15$，$a^3+b^3+c^3=47$．求\[M=(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)\]的值．
将 $5$ 个 $1$，$5$ 个 $2$，$5$ 个 $3$，$5$ 个 $4$，$5$ 个 $5$ 共 $25$ 个数填入一个 $5$ 行 $5$ 列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 $2$．考虑每列中各数之和，设这 $5$ 个和的最小值为 $M$，则 $M$ 的最大值为 _______．
在四边形 $ABCD$ 中，$BC\parallel AD$，$CA$ 平分 $\angle BCD$，$O$ 为对角线的交点，$CD=AO$，$BC=OD$，则 $\angle ABC=$ _______．
已知锐角三角形 $ABC$ 的外接圆为 $\omega$，垂心为 $H$，设 $\triangle HBC$ 的外接圆在 $H$ 处的切线交圆 $\omega$ 于点 $X,Y$，且 $HA=3$，$HX=2$，$HY=6$．若 $\triangle ABC$ 的面积的最简形式为 $m\sqrt n$（$m,n$ 均为正整数，且 $n$ 不能被任何素数的平方整除），则 $m+n=$_______．
设 $P(x)$ 是复系数二次多项式，且 $x^2$ 的系数为 $1$，设方程 $P(P(x))=0$ 有 $4$ 个不同的解 $x=3,4,a,b$，则所有 $(a+b)^2$ 的可能值之和为_______．
已知 $\triangle ABC$ 中 $\angle BAC$ 的平分线交 $BC$ 于 $D$，线段 $AD$ 的垂直平分线分别交 $\angle ABC$ 和 $\angle ACB$ 的平分线于 $E,F$ 两点．设 $AB=4$，$BC=5$，$CA=6$，则 $\triangle AEF$ 的面积的最简形式为 $\dfrac{m\sqrt n}p$（其中 $m,p$ 为互质正整数，$ n $ 不能被任何素数的平方整除），则 $ m+n+p=$ _______．
已知 $n$ 是使得 $3^3\cdot 5^5\cdot 7^7\mid 149^n-2^n$ 的最小正整数，则 $n$ 的正整数因子的个数为_______．
已知锐角非等边 $\triangle ABC$ 的外接圆为 $\omega$, 过点 $B,C$ 作 $ \omega $ 的切线相交于点 $ T $, $ T $ 在 $ AB, AC $ 上的投影分别为 $ X, Y $. 若 $ BT=CT=16 $, $ BC=22 $, 且 $ TX^2+TY^2+XY^2=1143 $, 则 $ XY^2=$ _______.
