每日一题[1985]几何计算

已知锐角非等边 $\triangle ABC$ 的外接圆为 $\omega$, 过点 $B,C$ 作 $ \omega $ 的切线相交于点 $ T $, $ T $ 在 $ AB, AC $ 上的投影分别为 $ X, Y $. 若 $ BT=CT=16 $, $ BC=22 $, 且 $ TX^2+TY^2+XY^2=1143 $, 则 $ XY^2=$ _______.

答案    $717$.

解析    取 $BC$ 的中点 $M$, 则 $\angle TXB=\angle TMB=90^\circ$, 于是 $B,X,T,M$ 四点共圆, 进而\[\angle MXB=\angle MTB=90^\circ-\angle MBT=90^\circ-\angle A,\]于是 $XM\perp AC$. 类似的, 有 $YM\perp AB$, 从而 $M$ 是 $\triangle AXY$ 的垂心. 因此四边形 $MXTY$ 是平行四边形, 进而有\[TM^2+XY^2=2(TX^2+TY^2),\]于是\[TB^2-BM^2+XY^2=2(TX^2+TY^2)\implies XY^2\dfrac 13(2\cdot 1143-135)=717.\]

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