每日一题[1989]镜

已知锐角三角形 $ABC$ 的外接圆为 $\omega$,垂心为 $H$,设 $\triangle HBC$ 的外接圆在 $H$ 处的切线交圆 $\omega$ 于点 $X,Y$,且 $HA=3$,$HX=2$,$HY=6$.若 $\triangle ABC$ 的面积的最简形式为 $m\sqrt n$($m,n$ 均为正整数,且 $n$ 不能被任何素数的平方整除),则 $m+n=$_______.

答案    $058$.

解析    由于三角形垂心关于三边的对称点均在外接圆上,因此作 $X,H,Y$ 关于 $BC$ 的对称点 $X_1,H_1,Y_1$,则 $X_1Y_1$ 与圆 $\omega$ 切于点 $H_1$.设 $AH'$ 交 $BC$ 于点 $D$,根据圆幂定理,有\[HA\cdot HH_1=HX\cdot HY\implies HH_1=4\implies DH=DH'=2.\]设直线 $XY,BC,X_1Y_1$ 交于点 $E$,则根据圆幂定理,有\[EH^2=EX\cdot EY\implies EH^2=(EH-2)(EH-6)\implies EH=3\implies ED=\sqrt 5.\]

设 $BC$ 的中点为 $M$,则 $DC-DB=2DM$,且\[EB\cdot EC=9\implies (ED-DB)(ED+DC)=9\implies DM=\dfrac{7}{\sqrt 5}\implies EM=\dfrac{12}{\sqrt 5},\]因此\[EB\cdot EC=9\implies \left(\dfrac{12}{\sqrt 5}-\dfrac{BC}2\right)\left(\dfrac{12}{\sqrt 5}+\dfrac{BC}2\right)=9\implies \dfrac{BC}2=3\sqrt{\dfrac{11}5},\]于是 $\triangle ABC$ 的面积为 $\dfrac {BC}2\cdot AD=3\sqrt{55}$,进而 $m+n=58$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论