『28510733』给定正整数 $n\geqslant 2$．求证：存在正整数 $m$ 且 $\left[\dfrac n2\right]\leqslant m\leqslant n-1$，使方程\[\dfrac{a_m}{m+1}+\dfrac{a_{m+1}}{m+2}+\cdots+\dfrac{a_{n-1}}{n}=\dfrac{1}{[1,2,\cdots,n]}\]有满足 $a_m>0$ 的整数解 $(a_m,a_{m+1},\cdots,a_{n-1})$．
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每日一题[2372]相关曲线
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $A(0,-2)$，以四个顶点围成的四边形面积为 $4\sqrt 5$．
1、求椭圆 $E$ 的标准方程．
2、过点 $P(0,-3)$ 的直线 $l$ 的斜率为 $k$，交椭圆 $E$ 于不同的两点 $B,C$，直线 $AB,AC$ 交 $y=-3$ 于点 $M,N$，若 $|PM|+|PN|\leqslant 15$，求 $k$ 的取值范围．
每日一题[2371]临界情形
已知 $f(x)=|\lg x|-kx-2$，给出下列四个结论：
① 若 $k=0$，则 $f(x)$ 有两个零点；
② 存在 $k<0$，使得 $f(x)$ 有一个零点；
③ 存在 $k<0$，使得 $f(x)$ 有三个零点；
④ 存在 $k>0$，使得 $f(x)$ 有三个零点． 以上正确结论的序号是_______．
每日一题[2370]规范表达
数列 $\{a_n\}$ 是递增的整数数列，且 $a_1\geqslant 3$，$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=100$，则 $n$ 的最大值为（ ）
A．$9$
B．$10$
C．$11$
D．$12$
每日一题[2369]极值点偏移
已知函数 $f(x)=x(1-\ln x)$．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、设 $a,b$ 为两个不相等的正数，且 $b\ln a-a\ln b=a-b$，证明：$2<\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}<\mathrm{e}$．
每日一题[2368]四点共圆
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $F_1\left(-\sqrt{17},0\right)$，$F_2\left(\sqrt{17},0\right)$，点 $M$ 满足 $|MF_1|-|MF_2|=2$．记 $M$ 的轨迹为 $C$．
1、求 $C$ 的方程．
2、设点 $T$ 在直线 $x=\dfrac{1}{2}$ 上，过 $T$ 的两条直线分别交 $C$ 于 $A,B$ 两点和 $P,Q$ 两点，且\[|TA|\cdot |TB|=|TP|\cdot |TQ|,\]求直线 $AB$ 的斜率与直线 $PQ$ 的斜率之和．
每日一题[2367]差比求和
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为 $20 {\rm dm}\times 12 {\rm dm}$ 的长方形纸，对折 $1$ 次共可以得到 $10 {\rm dm}\times 12 {\rm dm}$，$20 {\rm dm}\times 6 {\rm dm}$ 两种规格的图形，它们的面积之和 $S_1=240 {\rm dm}^2$，对折 $2$ 次共可以得到 $5 {\rm dm}\times 12 {\rm dm}$，$10 {\rm dm}\times 6 {\rm dm}$，$20 {\rm dm}\times 3 {\rm dm}$ 三种规格的图形，它们的面积之和 $S_2=180 {\rm dm}^2$，以此类推．则对折 $4$ 次共可以得到不同规格图形的种数为_______；如果对折 $n$ 次，那么 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}S_k$ =_______${\rm dm}^2$．
每日一题[2366]一题四吃
在正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A B=A A_{1}=1$，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B P}=\lambda \overrightarrow{B C}+\mu \overrightarrow{B B_{1}}$，其中 $\lambda \in[0,1]$，$\mu \in[0,1]$，则（ ）
A．当 $\lambda=1$ 时，$\triangle A B_{1} P$ 的周长为定值
B．当 $\mu=1$ 时，三棱雉 $P-A_{1} B C$ 的体积为定值
C．当 $\lambda=\dfrac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$，使得 $A_{1} P \perp B P$
D．当 $\mu=\dfrac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$，使得 $A_{1} B \perp$ 平面 $A B_{1} P$
每日一题[2365]独立性
有 $6$ 个相同的球，分别标有数字 $1,2,3,4,5,6$，从中有放回地随机取两次，每次取 $1$ 个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是 $1$”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 $2$”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 $8$”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 $7$”，则（ ）
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
每日一题[2364]切线条数
若过点 $(a, b)$ 可以作曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 的两条切线，则（ ）
A．$\mathrm{e}^{b}<a$
B．$\mathrm{e}^{a}<b$
C．$0<a<\mathrm{e}^{b}$
D．$0<b<\mathrm{e}^{a}$