设 $B$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $|PB|\leqslant 2b$，则 $C$ 的离心率的取值范围是（ ）
A．$\left[\dfrac{\sqrt 2}2,1\right)$
B．$\left[\dfrac 12,1\right)$
C．$\left(0,\dfrac{\sqrt 2}2\right]$
D．$\left(0,\dfrac 12\right]$
如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$，$F$ 为线段 $AB$ 的中点．以 $D$ 为圆心，$4$ 为半径，作扇形 $DAC$；以 $F$ 为圆心，$2$ 为半径，作半圆 $FAB$；设两条圆弧的交点为 $E$．求阴影部分的面积 $S$．
已知抛物线 $C:y^2=2px$（$p>0$）的焦点 $F$ 到准线的距离为 $2$．
1、求 $C$ 的方程．
2、已知 $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{PQ}=9\overrightarrow{QF}$，求直线 $OQ$ 的斜率的最大值．
已知函数 $f(x)=\dfrac{2ax+a^2-1}{x^2+1}$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上既有最大值，又有最小值，则 $a$ 的取值范围是_______．
在平面直角坐标系 $xOy$ 中的图形 $M$ 和点 $P$，给出如下定义，如果图形 $M$ 上存在点 $Q$，使 $0\leqslant |PQ|\leqslant 1$，那么称点 $P$ 为图形 $M$ 的和谐点．已知 $A(3,3)$，$B(-3,3)$．
1、在点 $P_1(-2,2)$，$P_2(0,3.5)$，$P_3(4,0)$ 中，线段 $AB$ 的和谐点有_______．
2、点 $P$ 在直线 $y=x-1$ 上，如果点 $P$ 是直线 $AB$ 的和谐点，求点 $P$ 的横坐标 $x$ 的取值范围．
3、已知点 $C(-3,-3)$，$D(3,-3)$，如果直线 $y=x+b$ 上存在正方形 $ABCD$ 的和谐点 $E,F$，使得线段 $E,F$，使得线段 $EF$ 上的所有点（含端点）都是正方形 $ABCD$ 的和谐点，且 $EF> \sqrt 2$，求 $b$ 的取值范围．
$2$ 条抛物线最多分平面为 $7$ 个部分，$3$ 条抛物线最多分平面为 $16$ 个部分，那么 $4$ 条抛物线最多分平面为_______个部分．
如图，已知多面体 $ABCDEGPH$，$AE,BG,CP,DH$ 均垂直于平面 $ABCD$，四边形 $ABCD$ 为正方形，$CP=CB=2AE=2CF=2$．若 $BG=x$（$x\in [0,2]$），且 $E,G,F,H$ 四点共面．
1、求四棱锥 $P-EGFH$ 的体积 $f(x)$．
2、若点 $Q$ 为多面体 $ABCDEGPH$ 棱上一点，求满足 $QA+QP=4$ 的点 $Q$ 的个数．
设 $0<k\leqslant 2$，则函数 $f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{1+kx}}+\sqrt{\dfrac{x}{x+k}}$（$x>0$）的值域为_______．
求幂级数\[\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^3-5n+1}{(2n+1)(n+2)}x^{2n+2}\]的和函数 $S(x)$．
