在 $1,2,3,4,5,6$ 的排列中，满足对 $k=1,2,3,4,5$ 都有排列的前 $k$ 项中至少有一个数比 $k$ 大的排列的个数为_______．
已知 $A=\{1,2,3,4,5\}$，$f$ 是从 $A$ 到 $A$ 的映射，则对任意 $A$ 中的元素 $x$，都有 $f(f(x))=f(f(f(x)))$ 的不同映射 $f$ 的个数为_______．
从 $23\times 27$ 的矩形的四个角各切掉一个三边长分别为 $6,8,10$ 的直角三角形得到八边形 $ABCDEFGH$，$AB=CD=EF=GH=10$ 且 $BC=DE=FG=HA=11$，如图．设 $J$ 是 $HA$ 的中点，且 $JB,JC,JD,JE,JF,JG$ 把八边形分成 $7$ 个三角形，则这 $7$ 个三角形的重心形成的凸多边形的面积为_______．
已知青蛙从坐标平面原点出发跳动，当它位于坐标 $(x,y)$ 时可以跳动到 $(x+1,y),(x+2,y),(x,y+1),(x,y+2)$ 中的任意一个位置，则从 $(0,0)$ 出发跳到 $(4,4)$ 结束的所有不同的跳动方案数为_______．
$\triangle ABC$ 的边长分别为 $AB=9$，$BC=5\sqrt 3$，$AC=12$．线段 $AB$ 上依次有点 $P_k$（$k=1,2,\cdots,2449$），记 $P_0=A$，$P_{2450}=B$，类似的，线段 $AC$ 上依次有点 $Q_k$（$k=1,2,\cdots,2449$），记 $Q_0=A$，$Q_{2450}=C$．这样就得到了与 $BC$ 平行的 $2449$ 条线段 $P_kQ_k$（$k=1,2,\cdots,2449$），设这些线段把 $\triangle ABC$ 分割成的 $1$ 个三角形和 $2449$ 个梯形的面积相等，则这些线段长为有理数的条数为_______．
从区间 $[-20,18]$ 中随机选择一个实数 $a$，设\[ x^{4}+2 a x^{3}+(2 a-2) x^{2}+(-4 a+3) x-2\]的所有根均为实根的概率的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$ _______．
已知复数 $x,y,z$ 满足\[\begin{cases} x y=-80-320 {\rm i},\\ yz=60,\\ zx=-96+24{\rm i},\end{cases}\]则复数 $ x+y+z$ 的模的平方为_______．
在各内角都相等的八边形 $CAROLINE$ 中，$CA=RO=LI=NE=\sqrt 2$，且 $AR=OL=IN=EC=1$．八边形 $CORNELIA$ 围成 $6$ 个没有重叠部分的三角形区域，设这 $6$ 个区域之和的最简分数表示为 $\dfrac ab$，则 $a+b=$_______．
已知 $b$ 是小于 $1000$ 的正整数，且在 $b$ 进制下 $36$ 是一个平方数且 $27$ 是一个立方数，则所有满足条件的 $b$ 之和为_______．
答案 $371$
解析 根据题意，存在正整数 $j,k$ 使得\[\begin{cases} 3b+6=j^2,\\ 2b+7=k^3,\end{cases}\]由于 $3b+6$ 是 $3$ 的倍数且为完全平方数，因此 $9\mid 3b+6$，于是 $b\equiv 1\pmod 3$．又完全立方数模 $9$ 的余数为 $0,1,8$，因此\[2b+7\equiv 0,1,8\pmod 9\iff b\equiv 1,6,5\equiv 9,\]综上可得 $b\equiv 1\pmod 9$．因此 $k^3=2b+7$ 是 $9$ 的奇数倍，因此 $k$ 是 $3$ 的奇数倍．考虑到 $b<1000$，于是 $k=3,9$，经验证有\[(k,j,b)=(3,6,10),(9,33,361),\]因此所求和为 $ 10+361=371$．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=2$，$a_1=5$，$a_2=8$，$a_n$ 为 $4\left(a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}\right)$ 除以 $11$ 的余数，则 $a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}=$ ______．
