每日一题[1991]枚举

将 $5$ 个 $1$,$5$ 个 $2$,$5$ 个 $3$,$5$ 个 $4$,$5$ 个 $5$ 共 $25$ 个数填入一个 $5$ 行 $5$ 列的表格内(每格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 $2$.考虑每列中各数之和,设这 $5$ 个和的最小值为 $M$,则 $M$ 的最大值为 _______.

答案    $10$.

解析    依据 $5$ 个 $1$ 分布的列数的不同情形进行讨论,确定 $M$ 的最大值.

情形一     若 $5$ 个 $1$ 分布在同一列,则 $M=5$;

情形二    若 $5$ 个 $1$ 分布在两列中,则由题意知这两列中出现的最大数至多为 $3$,故 $2M\leqslant 5\times1+5\times 3=20$,故 $M\leqslant 10$;

情形三    若 $5$ 个 $1$ 分布在三列中,则由题意知这三列中出现的最大数至多为 $3$,故 $3M\leqslant 5\times1+5\times 2+5\times 3=30$,故 $M\leqslant 10$;

情形四    若 $5$ 个 $1$ 分布在至少四列中,则其中某一列至少有一个数大于 $3$,这与已知矛盾,

综上所述,$M\leqslant 10$. 另一方面,如下表的例子说明 $M$ 可以取到 $10$,故 $M$ 的最大值为 $10$. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 1&1&1&4&5\\\hline 1&1&2&4&5\\\hline 2&2&2&4&5\\\hline 3&3&2&4&5\\\hline 3&3&3&4&5\\\hline \end{array}\]


备注    $2016$年全国初中联赛第$13$题,后被选做$2017$年北京市西城区高三一模题.

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